Ecuación de primer grado

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Profesora de Matemática y Física

La ecuación de primer grado es la forma de relacionar elementos conocidos y desconocidos en matemática. La forma de representar la ecuación de primer grado es:

ax + b = 0

Donde a y b son números reales diferentes de cero y x representa el elemento desconocido. Se llama de primer grado porque el valor desconocido no se multiplica por sí mismo, es decir, tiene exponente 1.

El valor desconocido también se llama incógnita. Las ecuaciones de primer grado pueden presentar una o más incógnitas, como en el siguiente caso:

ax - by = c

Para las incógnitas se usan, por lo general, las letras x, y , z.

Ejemplos de ecuaciones de primer grado son:

2x = 4
9x + 3y = 2
5 = 20x - 5

En cambio, estas ecuaciones no son de primer grado:

3x2 + 5x - 3 = 0
x3 = 8
y2 - x2 = a

El lado izquierdo de una igualdad se designa como primer miembro de la ecuación y el lado derecho como segundo miembro.

Cómo resolver una ecuación de primer grado paso a paso

Para resolver una ecuación de primer grado, debemos descubrir el valor desconocido, es decir, encontrar el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea verdadera. Esto lo hacemos despejando la incógnita.

Despejar la incógnita no es otra cosa que dejar sola la incógnita de un lado de la igualdad, y del otro lado los elementos conocidos. Para esto, cambiamos los elementos para un lado u otro de la igualdad, siempre teniendo el cuidado de mantener la igualdad verdadera.

Cuando un elemento o término de la ecuación cambia al lado contrario del signo igual (=), debemos invertir la operación. Así, si estaba multiplicando, pasará a dividir; si estaba sumando, pasará a restar, y viceversa.

Por ejemplo, dada la siguiente ecuación:

8x - 3 = 5

¿Cuál es el valor de la incógnita x que hace la igualdad 8x - 3 = 5 verdadera?

Despejamos x pasando el 3, que está restando, al otro lado, donde pasará a sumar:

8x = 5 + 3 ⇒ 8x = 8

Ahora, pasamos el 8, que está multiplicando a la x, al otro lado, donde pasará a dividir:

x = 8/8 ⇒ x = 1

Revisamos si en realidad x=1 hace que la ecuación sea verdadera:

8(1) - 3 = 5 ⇒ 8 - 3 = 5 ⇒ 5 = 5

¿Qué hacer cuando la incógnita es negativa?

Si la incógnita es negativa, debemos multiplicar cada lado de la igualdad por -1. Por ejemplo, en la siguiente ecuación:

-9x = 90

Multiplicamos por -1 de ambos lados:

(-1) (-9x) = (-1) (90) ⇒ 9x = -90

Luego:

x = -90/9 ⇒ x = -10

Ahora comprobamos que el valor de x = -10 es el correcto:

(-9) (-10) = 90 ⇒ 90 = 90

Ejercicios (con soluciones)

1. Ana nació 8 años después de su hermana Natalia. El año pasado Natalia tenía tres veces la edad de Ana. Calcule la edad de Ana y Natalia el año pasado.

Solución: para resolver este problema, utilizaremos la edad de Ana como la incógnita x, por lo tanto, la edad de Natalia será igual a x+8.

El año pasado, la edad de Natalia era tres veces la de Ana, por lo que la ecuación de primer grado será:

x + 8 = 3x

Agrupamos las x de un lado de la igualdad y nos queda:

8 = 3x - x ⇒ 8 = 2x

Despejando x tenemos:

8/2 = x ⇒ x = 4

Por lo tanto, como x es la edad de Ana, Ana tenía 4 años y Natalia tenía 12 el año pasado, el triple de la edad de Ana.

2. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) x - 3 = 9

Solución: x = 9 + 3 ⇒ x = 12

b) 4x - 9 = 1 - 2x

Solución: 4x + 2x = 1 + 9 ⇒ 6x = 10 ⇒ x = 10/6 ÷ 2/2 ⇒ x = 5/3

c) x + 5 = 20 - 4x

Solución: x + 4x = 20 - 5 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 15/5

d) 9x-4x+10= 7x-30

Solución: 9x - 4x - 7x = -30 -10
-2x = -40
(-1) (-2x) = (-1) (-40)
2x = 40
x= 40/2
x = 20

(Texto traducido y adaptado por Ana Zita).

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Graduada en Meteorología por la Universidad Federal de Río de Janeiro (1992), licenciada en Matemática por la Universidad Federal Fluminense (2006), con posgrado en Enseñanza de la Física por la Universidad Cruzeiro del Sur (2011).