Factorización

Ana Zita
Ana Zita
Doctora en Bioquímica

La factorización o descomposición factorial es el proceso de presentar una expresión matemática o un número en forma de multiplicación. Recordemos que los factores son los elementos de la multiplicación y el resultado se conoce como producto.

Tipos de factorización

En líneas generales, podemos hablar de dos tipos de factorización: la factorización de números enteros y la factorización de expresiones algebraicas.

Factorización en números primos

Todo número entero se puede descomponer en sus factores primos. Un número primo es aquel que es divisible unicamente entre 1 y el mismo. Por ejemplo, el 2 solo se puede dividir entre 1 y 2.

Podemos descomponer un número dado X como la multiplicación de sus factores primos. Por ejemplo, el número 525 está compuestos por los números primos 5, 3 y 7 de la siguiente manera:

estilo tamaño 16px negrita 525 negrita igual negrita 5 elevado a negrita 2 negrita por negrita 3 negrita por negrita 7 fin estilo

Factorización de expresiones algebraicas

El objetivo de la factorización es llevar un polinomio complicado y expresarlo como el producto de sus factores polinomiales simples.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Por ejemplo:

negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 4 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 7 negrita x negrita más negrita 12

Los factores son:

negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita y negrita espacio abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 4 cerrar paréntesis

Cómo factorizar

Cuando hablamos de factorizar, podemos seguir las siguientes recomendaciones:

  1. Observar si hay un factor común, esto es, si hay un factor que se repita en los diferentes términos.
  2. Ordenar la expresión: a veces al arreglar la expresión nos percatamos de las posibilidades de factorización.
  3. Averiguar si la expresión es factorizable: en ocasiones estamos en presencia de expresiones que no pueden ser descompuestas en factores.
  4. Verificar si los factores hallados son a su vez factorizables.

Pasos para hallar el factor común de un polinomio

El factor común de un polinomio es el paso previo a la factorización de un polinomio. Vamos a explicar paso a paso cómo encontrar el factor común del siguiente polinomio:

negrita 24 negrita x elevado a negrita 8 negrita y elevado a negrita 3 negrita menos negrita 16 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 7 negrita z elevado a negrita 3

Paso 1

Conseguimos el mayor factor común de 24 y 16. Los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24; los factores del 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. El mayor factor común es el 8.

Paso 2

Conseguimos los factores comunes de las variables, en este caso las variables comunes con la mayor potencia común. Las variables comunes son x y y. La mayor potencia común de x es x6 y la mayor potencia común de y es y3.

Paso 3

Escribimos el factor común del polinomio como el producto de los pasos 1 y 2 anteriores:

negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3

Factorización de polinomios

Ya conocemos el factor común del polinomio, por lo que podemos pasar a factorizar:

negrita 24 negrita x elevado a negrita 8 negrita y elevado a negrita 3 negrita menos negrita 16 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 7 negrita z elevado a negrita 3

Paso 1

Determinamos el factor común del polinomio:

negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3

Paso 2

Reescribimos cada término del polinomio en función del factor común. Para esto dividimos primero el término entre el factor común para obtener un segundo factor:

fracción numerador negrita 24 negrita x elevado a negrita 8 negrita y elevado a negrita 3 entre denominador negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 fin fracción negrita igual negrita 3 negrita x elevado a negrita 2 fracción numerador negrita 16 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 7 negrita z elevado a negrita 3 entre denominador negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 fin fracción negrita igual negrita 2 negrita y elevado a negrita 4 negrita z elevado a negrita 3

Ahora sustituimos cada término por el factor común y el segundo factor respectivo:

negrita 24 negrita x elevado a negrita 8 negrita y elevado a negrita 3 negrita igual negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita x elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita 16 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 7 negrita z elevado a negrita 3 negrita igual negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita y elevado a negrita 4 negrita z elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita x elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita y elevado a negrita 4 negrita z elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho

Nota: 8x6y3(3x2)- 8x6y3(2y4z3) no es la forma factorizada porque aún no están separados los factores.

Paso 3

Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común:

negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita y elevado a negrita 4 negrita z elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho

Paso 4

Revisamos los pasos realizados:

negrita 24 negrita x elevado a negrita 8 negrita y elevado a negrita 3 negrita menos negrita 16 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 7 negrita z elevado a negrita 2 negrita igual negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 negrita. negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita y elevado a negrita 4 negrita z elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho

Factorización de cuatro términos

Podemos factorizar un polinomio de cuatro términos agrupándolos en pares. Veamos el siguiente ejemplo:

negrita ax negrita más negrita by negrita más negrita ay negrita más negrita bx

Paso 1

Rearreglamos los términos tal que los dos primeros tengan un factor común y los otros dos tengan también un factor común:

negrita ax negrita más negrita by negrita más negrita ay negrita más negrita bx negrita igual negrita espacio negrita ax negrita más negrita bx negrita más negrita ay negrita más negrita by negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita ax negrita más negrita bx negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita ay negrita más negrita by negrita paréntesis derecho

Paso 2

Factorizamos la x del primer término y la y como factor común del segundo término:

negrita igual negrita x negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita y negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho

Paso 3

Usamos la propiedad distributiva para factorizar el término (a+b) de la expresión:

negrita x negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita y negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita paréntesis derecho

Factorizar una ecuación cuadrática

Cuando tenemos un polinomio de tres términos, este puede ser un trinomio cuadrático de la forma ax2+bx+c. Esta expresión se obtiene de la multiplicación de dos binomios:

negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 7 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 9 negrita x negrita más negrita 14

Al factorizar una ecuación cuadrática como x2+9x+14, queremos conseguir los dos binomios que lo originaron: (x+7)(x+2).

Factorizar una ecuación cuadrática por ensayo y error

Para la expresión 4x2-11x-3 buscamos dos factores binomios. 4x2 es el primer término, así que la multiplicación de los primeros coeficientes numéricos de los binomios debe ser 4. El último término es -3, así los últimos términos de los factores tienen signos diferentes cuyo producto es -3. Podemos probar varias combinaciones:

negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 11 negrita x negrita menos negrita 3 negrita igual con negrita ? encima negrita paréntesis izquierdo negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita x negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita x negrita más negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita igual negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita x negrita menos negrita 6 negrita x negrita menos negrita 3 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita igual negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 negrita x negrita menos negrita 3 negrita espacio

Esta opción es incorrecta.

negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 11 negrita x negrita menos negrita 3 negrita igual con negrita ? encima negrita paréntesis izquierdo negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 4 negrita x negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 4 negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita 4 negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita igual negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 4 negrita x negrita menos negrita 3 negrita x negrita menos negrita 3 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita igual negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita x negrita menos negrita 3 negrita espacio

Esta opción es incorrecta.

negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 11 negrita x negrita menos negrita 3 negrita igual con negrita ? encima negrita paréntesis izquierdo negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 4 negrita x negrita más negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 4 negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita 4 negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita igual negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 12 negrita x negrita más negrita x negrita menos negrita 3 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita igual negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 11 negrita x negrita menos negrita 3 negrita espacio

Esta es la opción correcta.

Factorizar una ecuación cuadrática por agrupamiento

Para factorizar por agrupamiento, identificamos los coeficientes a, b y c y buscamos dos factores ac cuya suma es b. Por ejemplo, para la ecuación 4x2-11x-3, los coeficientes son a=4, b=-11 y c=-3.

Los factores ac=(4)(-3)=-12. Dos factores de -12 que sumados dan -11 son -12 y 1.

Ahora reemplazamos el término medio de 4x2-11x-3 con -12x+1x.

negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 11 negrita x negrita menos negrita 3 negrita igual negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 12 negrita x negrita más negrita 1 negrita x negrita menos negrita 3

Agrupamos los términos en pares y buscamos el factor común:

negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 12 negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita x negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 4 negrita x negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho

Aplicamos la propiedad distributiva al factor (x-3):

negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 4 negrita x negrita más negrita 1 negrita paréntesis derecho

La forma factorizada queda entonces como:

negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 11 negrita x negrita menos negrita 3 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 4 negrita x negrita más negrita 1 negrita paréntesis derecho

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Un trinomio cuadrado perfecto es aquel donde el valor absoluto del coeficiente b es igual al doble del producto de las raíces de a y c:

abrir barra vertical negrita b cerrar barra vertical negrita igual negrita 2 raíz cuadrada de negrita a raíz cuadrada de negrita c

Por ejemplo, en la ecuación 4x2-20x+25, a=4, b=-20, c=25, entonces:

abrir barra vertical negrita b cerrar barra vertical negrita igual abrir barra vertical negrita menos negrita 20 cerrar barra vertical negrita igual negrita 20 negrita 2 raíz cuadrada de negrita a raíz cuadrada de negrita c negrita igual negrita 2 raíz cuadrada de negrita 4 raíz cuadrada de negrita 25 negrita igual negrita 2 negrita. negrita 2 negrita. negrita 5 negrita igual negrita 20

Esto indica que 4x2-20x+25 puede factorizarse como el cuadrado de un binomio:

negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 20 negrita x negrita menos negrita 25 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2

El primer término será la raíz cuadrada de 4x2 y el último término es la raíz cuadrada de c:

negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 20 negrita x negrita más negrita 25 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita x negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2

El signo en el binomio es el mismo del término medio del trinomio.

Vea también Ecuaciones cuadráticas de segundo grado.

Factorización de binomios

Los binomios factorizables son:

  • la diferencia de dos cuadrados (x2-y2),
  • la diferencia de dos cubos (x3-y3) y
  • la suma de dos cubos (x3+y3).

La factorización de la diferencia de dos cuadrados (x2-y2) es:

negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita y elevado a negrita 2 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita y negrita paréntesis derecho

Ejemplo:

negrita 9 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 25 negrita y elevado a negrita 2 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita x negrita más negrita 5 negrita y negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita x negrita menos negrita 5 negrita y negrita paréntesis derecho

La factorización de la diferencia de dos cubos (x3-y3) es:

negrita x elevado a negrita 3 negrita menos negrita y elevado a negrita 3 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita y negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita xy negrita más negrita y elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho

Ejemplo:

negrita 64 negrita a elevado a negrita 3 negrita menos negrita 125 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 4 negrita a negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 16 negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 20 negrita a negrita más negrita 25 negrita paréntesis derecho

La factorización de la suma de dos cubos (x3+y3) es:

negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita y elevado a negrita 3 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita xy negrita más negrita y elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho

Ejemplo:

negrita 8 negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita 27 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita x negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 6 negrita x negrita más negrita 9 negrita paréntesis derecho

Vea también

Ejercicios de factorización resueltos

1. Factorizar la siguiente expresión:

negrita x negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita más negrita espacio negrita 2 negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho

Paso 1

El factor común es (x-1).

Paso 2

Aplicar la propiedad distributiva al factor (x-1):

negrita x negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita más negrita 2 negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 2 negrita paréntesis derecho

2. Factorizar la siguiente expresión:

negrita 100 negrita x elevado a negrita 4 negrita y elevado a negrita 2 negrita z negrita menos negrita 25 negrita x elevado a negrita 2 negrita y elevado a negrita 2 negrita z

Paso 1

Tomamos como factor común 25x2y2z

negrita 100 negrita x elevado a negrita 4 negrita y elevado a negrita 2 negrita z negrita menos negrita 25 negrita x elevado a negrita 2 negrita y elevado a negrita 2 negrita z negrita igual negrita 25 negrita x elevado a negrita 2 negrita y elevado a negrita 2 negrita z negrita. negrita espacio negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 25 negrita x elevado a negrita 2 negrita y elevado a negrita 2 negrita z negrita. negrita 1 negrita igual negrita 25 negrita x elevado a negrita 2 negrita y elevado a negrita 2 negrita z negrita paréntesis izquierdo negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho

Paso 2

Factorizamos la diferencia de dos cuadrados que es 4x2-1.

negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 1 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita x negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita x negrita más negrita 1 negrita paréntesis derecho

Paso 3

La forma factorizada completa es:

negrita 25 negrita x elevado a negrita 2 negrita y elevado a negrita 2 negrita z abrir paréntesis negrita 2 negrita x negrita menos negrita 1 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita 2 negrita x negrita más negrita 1 cerrar paréntesis

3. Factorizar la siguiente expresión:

negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 7 negrita x negrita menos negrita 30

Paso 1

Esta expresión es una ecuación cuadrática, entonces buscamos por factores binomiales:

negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 7 negrita x negrita menos negrita 30 negrita igual abrir paréntesis espacio espacio espacio espacio espacio cerrar paréntesis abrir paréntesis espacio espacio espacio espacio espacio cerrar paréntesis

Paso 2

Buscamos dos número que multiplicados den -30 y sumados den -7. Probamos con -10 y 3:

abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 10 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 3 cerrar paréntesis negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 3 negrita x negrita menos negrita 10 negrita x negrita menos negrita 30 negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 7 negrita x negrita menos negrita 30

Paso 3

La forma factorizada es:

negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 7 negrita x negrita menos negrita 30 negrita igual abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 10 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 3 cerrar paréntesis

4. Factorizar la siguiente expresión:

negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita x negrita menos negrita 1

Paso 1

Observamos que esta expresión tiene cuatro términos. Los agrupamos en pares de forma que podamos conseguir un factor común:

negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita x negrita menos negrita 1 negrita igual abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 3 negrita menos negrita x cerrar paréntesis negrita más abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 1 cerrar paréntesis negrita igual negrita x abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 1 cerrar paréntesis negrita más abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 1 cerrar paréntesis negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 1 negrita paréntesis derecho

Paso 2

Factorizamos el binomio cuadrado (x2-1):

abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 1 cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 1 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 1 cerrar paréntesis

Paso 3

La forma factorizada final es:

negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita x negrita menos negrita 1 negrita igual abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 1 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 1 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 1 cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 1 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 1 cerrar paréntesis elevado a negrita 2

Ejercicios de factorización (con respuesta)

estilo tamaño 16px 1 paréntesis derecho espacio 24 normal x elevado a 9 normal y al cuadrado menos 6 normal x elevado a 6 normal y elevado a 7 normal z elevado a 4 fin estilo

Primer paso: obtener el factor común de los dos términos del polinomio. En este caso el factor común entre 24 y 6 es 6, entre x9 y x6 es x6, entre y2 y y7 es y2. De esta forma, el factor común del polinomio es:

estilo tamaño 16px 6 normal x elevado a 6 normal y al cuadrado fin estilo

Segundo paso: determinamos los segundos factores a partir del factor común:

estilo tamaño 16px fracción numerador 24 normal x elevado a 9 normal y al cuadrado entre denominador 6 normal x elevado a 6 normal y al cuadrado fin fracción igual 4 x al cubo espacio espacio espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio fracción numerador 6 normal x elevado a 6 normal y elevado a 7 normal z elevado a 4 entre denominador 6 normal x elevado a 6 normal y al cuadrado fin fracción igual normal y elevado a 5 normal z elevado a 4 fin estilo

Tercer paso: factorizamos sacando el factor común que multiplica a los segundos factores que se restan:

estilo tamaño 16px 6 normal x elevado a 6 normal y al cuadrado abrir paréntesis 4 normal x al cubo menos normal y elevado a 5 normal z elevado a 4 cerrar paréntesis fin estilo

2 paréntesis derecho normal a al cuadrado paréntesis izquierdo normal a más normal b paréntesis derecho menos 2 ab paréntesis izquierdo normal a más normal b paréntesis derecho más normal b al cuadrado paréntesis izquierdo normal a más normal b paréntesis derecho

Primer paso: sacamos el factor común entre los tres términos del polinomio, en este caso es (a+b):

paréntesis izquierdo normal a más normal b paréntesis derecho paréntesis izquierdo normal a al cuadrado menos 2 ab más normal b al cuadrado paréntesis derecho espacio

Segundo paso: tenemos un nuevo polinomio que podemos factorizar:

normal a al cuadrado menos 2 ab más normal b al cuadrado igual abrir paréntesis normal a menos normal b cerrar paréntesis abrir paréntesis normal a menos normal b cerrar paréntesis igual abrir paréntesis normal a menos normal b cerrar paréntesis al cuadrado

Tercer paso: escribimos los factores obtenidos:

estilo tamaño 16px paréntesis izquierdo normal a más normal b paréntesis derecho paréntesis izquierdo normal a menos normal b paréntesis derecho al cuadrado fin estilo

estilo tamaño 16px 3 paréntesis derecho espacio 8 normal a al cubo más 125 normal b al cubo fin estilo

Podemos descomponer los números 8 y 125 en sus factores comunes respectivos. Tenemos entonces:

estilo tamaño 16px 8 igual 2 por 2 por 2 igual 2 al cubo espacio espacio espacio espacio espacio espacio punto y coma espacio 125 igual 5 por 5 por 5 igual 5 al cubo fin estilo

Sustituimos estos valores

estilo tamaño 16px 2 al cubo normal a al cubo más 5 al cubo normal b al cubo igual abrir paréntesis 2 normal a cerrar paréntesis al cubo más abrir paréntesis 5 normal b cerrar paréntesis al cubo fin estilo

Siguiendo la regla para factorizar un binomio de la suma de dos cubos, tenemos:

estilo tamaño 16px abrir paréntesis 2 normal a más 5 normal b cerrar paréntesis paréntesis izquierdo abrir paréntesis 2 normal a cerrar paréntesis al cuadrado menos 2 normal a por 5 normal b más abrir paréntesis 5 normal b cerrar paréntesis al cuadrado paréntesis derecho fin estilo

Arreglamos los términos y obtenemos la factorización del binomio:

estilo tamaño 16px abrir paréntesis 2 normal a más 5 normal b cerrar paréntesis abrir paréntesis 4 normal a al cuadrado menos 10 ab más 25 normal b al cuadrado cerrar paréntesis fin estilo

estilo tamaño 16px 4 paréntesis derecho espacio 64 normal a menos 125 normal a elevado a 4 fin estilo

Primero, descomponemos los números 64 y 125 en sus factores primos y los sustituimos en el binomio:

64 igual 2 por 2 por 2 por 2 por 2 por 2 igual 2 elevado a 6 espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio 125 igual 5 por 5 por 5 igual 5 al cubo 2 elevado a 6 normal a menos 5 al cubo normal a elevado a 4

Ambos términos tienen en común a, por lo que lo extraemos como factor común:

estilo tamaño 16px normal a paréntesis izquierdo 2 elevado a 6 menos 5 al cubo normal a al cubo paréntesis derecho fin estilo

Podemos transformar los elementos dentro del paréntesis para que sea un binomio de cubos:

estilo tamaño 16px paréntesis izquierdo 2 al cuadrado paréntesis derecho al cubo menos paréntesis izquierdo 5 normal a paréntesis derecho al cubo fin estilo

Factorizamos siguiendo la regla de la diferencia de dos cubos (x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2):

abrir paréntesis 2 al cuadrado cerrar paréntesis al cubo menos abrir paréntesis 5 normal a cerrar paréntesis al cubo igual abrir paréntesis 2 al cuadrado menos 5 normal a cerrar paréntesis abrir paréntesis paréntesis izquierdo 2 al cuadrado paréntesis derecho al cuadrado más 2 elevado a 2 fin elevado 5 normal a más paréntesis izquierdo 5 normal a paréntesis derecho al cuadrado cerrar paréntesis espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio igual paréntesis izquierdo 2 al cuadrado menos 5 normal a paréntesis derecho paréntesis izquierdo 2 elevado a 4 más 20 normal a más 25 normal a al cuadrado paréntesis derecho

Arreglamos los términos factorizados:

estilo tamaño 16px normal a paréntesis izquierdo paréntesis izquierdo 2 al cuadrado menos 5 normal a paréntesis derecho paréntesis izquierdo 2 elevado a 4 menos 20 normal a más 25 normal a al cuadrado paréntesis derecho paréntesis derecho fin estilo

estilo tamaño 16px 5 paréntesis derecho espacio normal m al cuadrado menos 20 normal m menos 300 fin estilo

Seguimos las reglas para factorizar una ecuación cuadrática por agrupamiento. Los coeficientes son a= 1, b=-20 y c=-300. Buscamos qué factores ac al sumarse nos da b, es decir, dos factores que multiplicados nos dan (-300) y que sumados que nos da (-20).

Dos números que multiplicados nos dan -300 son 10 y -30. Si los sumamos, obtenemos -20. Los factores son:

estilo tamaño 16px abrir paréntesis normal m más 10 cerrar paréntesis abrir paréntesis normal m menos 30 cerrar paréntesis fin estilo

6 paréntesis derecho espacio bx al cuadrado menos normal b menos normal x al cuadrado más 1

Agrupamos los términos con el elemento b:

estilo tamaño 16px abrir paréntesis bx al cuadrado menos normal b cerrar paréntesis menos abrir paréntesis normal x al cuadrado menos 1 cerrar paréntesis fin estilo

Sacamos el factor b como factor común del primer término:

estilo tamaño 16px normal b abrir paréntesis normal x al cuadrado menos 1 cerrar paréntesis menos abrir paréntesis normal x al cuadrado menos 1 cerrar paréntesis fin estilo

Ahora tenemos un factor común (x2 -1) que multiplica a b y a -1.

estilo tamaño 16px abrir paréntesis normal x al cuadrado menos 1 cerrar paréntesis abrir paréntesis normal b menos 1 cerrar paréntesis fin estilo

7 paréntesis derecho espacio am al cubo menos 7 am al cuadrado más 12 am

Sacamos como factor común am:

estilo tamaño 16px am abrir paréntesis am al cuadrado menos 7 am más 12 cerrar paréntesis fin estilo

Factorizamos el polinomio dentro del paréntesis. Para eso buscamos dos factores que multiplicados den 12 y sumado den -7; estos factores son -4 y -3:

estilo tamaño 16px am al cuadrado menos 7 am más 12 igual paréntesis izquierdo am menos 4 paréntesis derecho paréntesis izquierdo am menos 3 paréntesis derecho fin estilo

Terminamos la factorización:

estilo tamaño 16px am paréntesis izquierdo abrir paréntesis am menos 4 cerrar paréntesis abrir paréntesis am menos 3 cerrar paréntesis paréntesis derecho fin estilo

8 paréntesis derecho espacio 5 ax al cubo más 10 ax al cuadrado menos 5 ax menos 10 normal a

Arreglamos los términos con factor común 5ax y 10a:

paréntesis izquierdo 5 ax al cubo menos 5 a x paréntesis derecho más paréntesis izquierdo 10 ax al cuadrado menos 10 normal a paréntesis derecho

Sacamos los factores comunes de cada paréntesis:

estilo tamaño 16px 5 ax abrir paréntesis normal x al cuadrado menos 1 cerrar paréntesis más 10 normal a abrir paréntesis normal x al cuadrado menos 1 cerrar paréntesis fin estilo

Ahora tenemos como factor común entre los dos paréntesis 5a:

estilo tamaño 16px 5 normal a abrir paréntesis normal x abrir paréntesis normal x al cuadrado menos 1 cerrar paréntesis más 2 abrir paréntesis normal x al cuadrado menos 1 cerrar paréntesis cerrar paréntesis fin estilo

Sacamos como factor común x2 -1:

estilo tamaño 16px 5 normal a abrir paréntesis normal x al cuadrado menos 1 cerrar paréntesis abrir paréntesis normal x más 2 cerrar paréntesis fin estilo

Arreglamos los factores y la respuesta es:

estilo tamaño 16px 5 normal a abrir paréntesis normal x más 1 cerrar paréntesis abrir paréntesis normal x menos 1 cerrar paréntesis abrir paréntesis normal x más 2 cerrar paréntesis fin estilo