Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado


Ana Zita
Ana Zita
Científica

Las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado son aquellas en donde el exponente del término desconocido está elevado al cuadrado, es decir, la incógnita está elevada al exponente 2. Tienen la forma general de un trinomio:

estilo tamaño 14px negrita ax elevado a negrita 2 negrita más negrita bx negrita más negrita c negrita igual negrita 0 fin estilo

donde a, b y c son números reales y se conocen como coeficientes. Así, a es el coeficiente de x2, b es el término o coeficiente de x y c es el término independiente.

Si a = 1, la ecuación cuadrática es reducida. Si a = 0, entonces deja de ser una ecuación de segundo grado, y se transforma en una ecuación de primer grado:

estilo tamaño 14px negrita bx negrita más negrita c negrita igual negrita 0 fin estilo

Tipos de ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas o incompletas, dependiendo de si existen los términos dependiente de x (b) o independiente (c). 

Ecuaciones completas de segundo grado

Las ecuaciones completas de segundo grado tienen la forma ax+ bx + c = 0, es decir, todos los términos se encuentran presentes; por ejemplo:

estilo tamaño 14px negrita 2 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 3 negrita x negrita más negrita 4 negrita igual negrita 0 fin estilo

En este caso = 2, = 3 y = 4.

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 10 negrita x negrita igual negrita menos negrita 20 fin estilo

En este caso = 1, = 10 y = 20, pues el (-20) del lado derecho de la ecuación pasa al lado izquierdo cambiando de signo, así:

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 10 negrita x negrita más negrita 20 negrita igual negrita 0 fin estilo

Ecuaciones incompletas de segundo grado

Cuando no existe el coeficiente de x, es decir, el término b, la ecuación toma la forma:

estilo tamaño 14px negrita ax elevado a negrita 2 negrita más negrita c negrita igual negrita 0 fin estilo

Ejemplos:

estilo tamaño 14px negrita 27 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 9 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita a negrita igual negrita 27 negrita coma negrita espacio negrita c negrita igual negrita menos negrita 9  fin estilo

estilo tamaño 14px negrita 12 negrita x elevado a negrita 2 negrita igual negrita menos negrita 6 negrita espacio negrita flecha doble derecha negrita a negrita igual negrita 12 negrita coma negrita espacio negrita c negrita igual negrita 6 fin estilo

Cuando no existe el término independiente, es decir, el término c, la ecuación tiene la forma:

estilo tamaño 14px negrita ax elevado a negrita 2 negrita más negrita bx negrita igual negrita 0 fin estilo

Ejemplos:

estilo tamaño 14px negrita 48 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 8 negrita x negrita igual negrita 0 negrita espacio negrita flecha doble derecha negrita a negrita igual negrita 48 negrita coma negrita espacio negrita b negrita igual negrita 8 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita menos negrita 5 negrita x elevado a negrita 2 negrita igual negrita menos negrita 5 negrita x negrita espacio negrita flecha doble derecha negrita a negrita igual negrita menos negrita 5 negrita coma negrita espacio negrita b negrita igual negrita 5 fin estilo

Raíces de una ecuación cuadrática

Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces que son los valores de la incógnita. Resolver una ecuación de segundo grado es buscar las raíces de la ecuación. 

Las raíces de la ecuación cuadrática se calculan por la fórmula general:

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita coma negrita 2 fin subíndice negrita igual fracción numerador negrita menos negrita b negrita más-menos raíz cuadrada de negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita c negrita paréntesis derecho fin raíz entre denominador negrita 2 negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho fin fracción fin estilo

La expresión dentro de la raíz cuadrada b- 4(a)(c) se llama discriminante de la ecuación cuadrática. Obsérvese que delante de la raíz de la discriminante esta el signo ±. Esto significa que, para hallar el valor de x, en un caso sumamos el valor de la discriminante, y, en otro caso, restamos. A esto nos referimos cuando decimos que hay dos raíces en la ecuación de segundo grado.

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas paso a paso

Para resolver una ecuación de segundo grado usando la fórmula general, vamos a proceder de la siguiente manera:

  1. Identificamos los coeficientes a, b y c
  2. Los sustituimos en la fórmula general.
  3. Calculamos x1 sumando el discriminante y x2 restando el discriminante.

Debemos tener en cuenta que:

estilo tamaño 14px negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 abrir paréntesis negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita c cerrar paréntesis negrita igual negrita 0 fin estilo ⇒ solo hay una raíz para la ecuación.

estilo tamaño 14px negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 abrir paréntesis negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita c cerrar paréntesis negrita mayor que negrita 0 fin estilo ⇒ hay dos raíces con números reales.

estilo tamaño 14px negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 abrir paréntesis negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita c cerrar paréntesis negrita menor que negrita 0 fin estilo ⇒ no hay una solución real.

Ejemplo 1

Resolvamos la ecuación 3x- 5x + 2 = 0

  1. Los coeficientes son: a = 3, b = -5, c = 2.
  2. Los sustituimos en la fórmula general:

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita coma negrita 2 fin subíndice negrita igual fracción numerador negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita más-menos raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita paréntesis derecho fin raíz entre denominador negrita 2 negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita paréntesis derecho fin fracción negrita igual fracción numerador negrita 5 negrita más-menos raíz cuadrada de negrita 25 negrita menos negrita 24 fin raíz entre denominador negrita 6 fin fracción fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual fracción numerador negrita 5 negrita más raíz cuadrada de negrita 1 entre denominador negrita 6 fin fracción negrita igual fracción numerador negrita 5 negrita más negrita 1 entre denominador negrita 6 fin fracción negrita igual negrita 1 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 2 negrita igual fracción numerador negrita 5 negrita menos raíz cuadrada de negrita 1 entre denominador negrita 6 fin fracción negrita igual fracción numerador negrita 5 negrita menos negrita 1 entre denominador negrita 6 fin fracción negrita igual fracción negrita 4 entre negrita 6 negrita igual fracción negrita 2 entre negrita 3 fin estilo

Las respuestas son x= 1 y x= 2/3.

Hacemos la comprobación de la siguiente forma:

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estilo tamaño 14px negrita 5 negrita menos negrita 5 negrita igual negrita 0 fin estilo

Como vemos, x= 1 satisface la ecuación.

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 2 negrita igual fracción negrita 2 entre negrita 3 negrita flecha doble derecha negrita 3 abrir paréntesis fracción negrita 2 entre negrita 3 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 negrita menos negrita 5 abrir paréntesis fracción negrita 2 entre negrita 3 cerrar paréntesis negrita más negrita 2 negrita igual negrita 0 flecha doble derecha fracción negrita 4 entre negrita 3 negrita menos fracción negrita 10 entre negrita 3 negrita más fracción negrita 6 entre negrita 3 negrita igual negrita 0 fin estilo

estilo tamaño 14px fracción negrita 10 entre negrita 3 negrita menos fracción negrita 10 entre negrita 3 negrita igual negrita 0 fin estilo

De igual forma, x= 2/3 es otra de las soluciones correctas.

Ejemplo 2

Resolvamos la ecuación 8x + 5 = 36x2

  1. Los coeficientes son a = 36, b = -8, c = -5. Esto porque tenemos que arreglar la ecuación como un trinomio perfecto, y queda de la siguiente forma: 36x- 8x - 5 = 0
  2. Sustituimos los coeficientes en la forma general:

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estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual fracción numerador negrita 8 negrita más raíz cuadrada de negrita 784 entre denominador negrita 72 fin fracción negrita igual fracción numerador negrita 8 negrita más negrita 28 entre denominador negrita 72 fin fracción negrita igual fracción negrita 36 entre negrita 72 negrita igual fracción negrita 1 entre negrita 2 fin estilo

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Las respuestas son x= 1/2 y x= -5/18.

Si hacemos la comprobación, obtenemos:

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual fracción negrita 1 entre negrita 2 negrita flecha doble derecha negrita 36 abrir paréntesis fracción negrita 1 entre negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 negrita menos negrita 8 abrir paréntesis fracción negrita 1 entre negrita 2 cerrar paréntesis negrita menos negrita 5 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita 9 negrita menos negrita 4 negrita menos negrita 5 negrita igual negrita 0 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 2 negrita igual negrita menos fracción negrita 5 entre negrita 18 negrita flecha doble derecha negrita 36 abrir paréntesis negrita menos fracción negrita 5 entre negrita 18 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 negrita menos negrita 8 abrir paréntesis negrita menos fracción negrita 5 entre negrita 18 cerrar paréntesis negrita menos negrita 5 negrita igual negrita 0 fin estilo

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Ejemplo 3

Resolver la ecuación (5x - 4)- (3x + 5)(2x - 1) = 20x(x - 2) + 27

Para aplicar la fórmula hay que llevarla a la forma ax+ bx + c = 0

estilo tamaño 14px negrita 25 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 40 negrita más negrita 16 negrita menos negrita 6 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 7 negrita x negrita más negrita 5 negrita igual negrita 20 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 40 negrita x negrita más negrita 27 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita 25 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 40 negrita x negrita más negrita 16 negrita menos negrita 6 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 7 negrita x negrita más negrita 5 negrita menos negrita 20 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 40 negrita x negrita menos negrita 27 negrita igual negrita 0 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita menos negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 7 negrita x negrita menos negrita 6 negrita igual negrita 0 fin estilo

En este caso tenemos que a = -1, b = -7, c = -6, entonces aplicando 

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sustituimos los valores:

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estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual fracción numerador negrita 7 negrita más negrita 5 entre denominador negrita menos negrita 2 fin fracción negrita igual negrita menos negrita 6 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 2 negrita igual fracción numerador negrita 7 negrita menos negrita 5 entre denominador negrita menos negrita 2 fin fracción negrita igual negrita menos negrita 1 fin estilo

Ejemplo 4

estilo tamaño 14px negrita 105 negrita igual negrita x negrita más negrita 2 negrita x elevado a negrita 2 fin estilo

Para aplicar la fórmula, hay que llevarla a la forma ax+ bx + c = 0

estilo tamaño 14px negrita 2 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita x negrita menos negrita 105 negrita igual negrita 0 fin estilo

Tenemos entonces que a = 2, b = 1, c = -105

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita coma negrita 2 fin subíndice negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 1 negrita más-menos raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 105 negrita paréntesis derecho fin raíz entre denominador negrita 2 negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita paréntesis derecho fin fracción negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 1 negrita más-menos raíz cuadrada de negrita 1 negrita más negrita 840 fin raíz entre denominador negrita menos negrita 4 fin fracción fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 1 negrita más negrita 29 entre denominador negrita 4 fin fracción negrita igual negrita 7 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 2 negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 1 negrita menos negrita 29 entre denominador negrita 4 fin fracción negrita igual negrita menos fracción negrita 30 entre negrita 4 negrita igual negrita menos fracción negrita 15 entre negrita 2 fin estilo

Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

En este caso, vamos a aprovechar la propiedad del factor 0, esto es: si el producto de dos números es 0, al menos uno de los números es cero.

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita igual negrita menos negrita 2 negrita x fin estilo

Paso 1: coloca la ecuación en formato normal.

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita x negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 2: usa la propiedad distributiva para factorizar el término de la izquierda.

estilo tamaño 14px negrita x abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 2 cerrar paréntesis negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 3: usa la propiedad del cero para separar los factores. Así, x = 0 o x + 2 = 0

Paso 4: resuelve la ecuación lineal resultante.

En este caso, las soluciones son x = 0 o x = -2

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual negrita 0 negrita x subíndice negrita 2 negrita igual negrita menos negrita 2 fin estilo

Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática por factorización:

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Paso 1: coloca la ecuación en formato normal.

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita x negrita menos negrita 6 negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 2: factoriza.

estilo tamaño 14px negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 3: usa la propiedad del cero para separar los factores.

estilo tamaño 14px negrita x negrita menos negrita 2 negrita igual negrita 0 negrita espacio negrita x negrita más negrita 3 negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 4: resuelve las ecuaciones lineales resultantes.

estilo tamaño 14px negrita x negrita igual negrita 2 negrita espacio negrita x negrita igual negrita menos negrita 3 fin estilo

Ejemplo 2

Resolver la siguiente ecuación cuadrática por factorización:

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 negrita x negrita igual negrita menos negrita 4 fin estilo

Paso 1: coloca la ecuación en formato normal.

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 negrita x negrita más negrita 4 negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 2: factoriza.

estilo tamaño 14px abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 3: aplica raíz cuadrada a cada miembro de la ecuación.

estilo tamaño 14px raíz cuadrada de abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 0 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x negrita menos negrita 2 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita x negrita igual negrita 2 fin estilo

Ejemplo 3

Resolver la siguiente ecuación cuadrática por factorización:

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 7 negrita x negrita igual negrita 18 fin estilo

Paso 1: colocar la ecuación en formato normal.

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 7 negrita x negrita menos negrita 18 negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 2: factorizar.

estilo tamaño 14px negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 9 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 3: resolver cada una de las ecuaciones lineales resultantes.

estilo tamaño 14px negrita x negrita menos negrita 2 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita x negrita igual negrita 2 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x negrita más negrita 9 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita x negrita igual negrita menos negrita 9 fin estilo

Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado

Cuando un problema da origen a una ecuación de segundo grado, al resolverla se obtienen dos valores para el término desconocido. En este caso, solo se acepta el valor que satisfaga las condiciones del problema.

Por ejemplo: A es dos años mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Halla ambas edades.

Paso 1: establecer las condiciones del problema, en este caso, x es igual a la edad de A y x - 2 es la edad de B. Entonces tenemos que:

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 negrita igual negrita 130 fin estilo

Paso 2: arreglar la ecuación al formato general:

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita x negrita menos negrita 63 negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 3: factorizamos en este caso:

estilo tamaño 14px abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 9 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 7 cerrar paréntesis negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 4: resolvemos las ecuaciones lineales resultantes:

estilo tamaño 14px negrita x negrita menos negrita 9 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita x negrita igual negrita 9 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x negrita más negrita 7 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita x negrita igual negrita menos negrita 7 fin estilo

Paso 5: se rechaza la solución x = -7 porque la edad no puede ser negativa. Entonces A tiene 9 años y B tiene 9 - 2 = 7 años.

Ejercicio

La longitud de un terreno rectangular es doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el área se hace doble. Halla las dimensiones del terreno.

Sea x = el ancho del terreno, entonces 2x = la longitud del terreno y el área del terreno es 2xx = 2x2

Si aumentando la longitud en 40 m, esta sería (2x + 40)m y aumentando el ancho en 6 m, este sería (x + 6)m. El área ahora será:

estilo tamaño 14px abrir paréntesis negrita 2 negrita x negrita más negrita 40 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 6 cerrar paréntesis negrita igual negrita 2 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 52 negrita x negrita más negrita 240 fin estilo

pero según las condiciones, esta nueva área sería el doble que la anterior 2x2; luego tenemos la ecuación:

estilo tamaño 14px negrita 2 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 52 negrita x negrita más negrita 240 negrita igual negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 fin estilo

Transponiendo y reduciendo:

estilo tamaño 14px negrita menos negrita 2 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 52 negrita x negrita más negrita 240 negrita igual negrita 0 fin estilo

Cambiando signos y dividiendo por 2, nos queda:

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 26 negrita x negrita menos negrita 120 negrita igual negrita 0 fin estilo

Resolviendo esta ecuación se halla  que x = 30 y x = -4. Aceptamos la solución x = 30, el ancho del terreno es 30 m y la longitud es 60 m.

Problemas resueltos

Problema 1

Un comerciante compró cierto numero de sacos de azúcar por 1000 pesos. Si hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 pesos menos. Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno?

Vamos a considerar que x es igual al número de sacos de azúcar y cada saco costó 1000/x. Si hubiera comprado x + 10 sacos, le hubiera costado (1000/x) - 5. La  ecuación a resolver es la siguiente:

estilo tamaño 14px fracción numerador negrita 1000 entre denominador negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 10 negrita paréntesis derecho fin fracción negrita igual fracción negrita 1000 entre negrita x negrita menos negrita 5 fin estilo

Rearreglamos términos:

estilo tamaño 14px fracción numerador negrita 1000 entre denominador negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 10 negrita paréntesis derecho fin fracción negrita más negrita 5 negrita igual fracción negrita 1000 entre negrita x fin estilo

estilo tamaño 14px abrir paréntesis negrita 1000 negrita más negrita 5 negrita x negrita más negrita 50 cerrar paréntesis negrita x negrita igual negrita 1000 abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 10 cerrar paréntesis fin estilo

estilo tamaño 14px negrita 5 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 50 negrita x negrita menos negrita 10000 negrita igual negrita 0 fin estilo

Sabiendo que a = 5, b =5 0 y c = -10000, aplicamos la fórmula general:

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita coma negrita 2 fin subíndice negrita igual fracción numerador negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 50 negrita paréntesis derecho negrita más-menos raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita 50 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 10000 negrita paréntesis derecho fin raíz entre denominador negrita 2 negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita paréntesis derecho fin fracción fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita coma negrita 2 fin subíndice negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 50 negrita más-menos raíz cuadrada de negrita 2500 negrita más negrita 200000 fin raíz entre denominador negrita 10 fin fracción negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 50 negrita más-menos negrita 450 entre denominador negrita 10 fin fracción fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 50 negrita más negrita 450 entre denominador negrita 10 fin fracción negrita igual negrita 40 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 2 negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 50 negrita menos negrita 450 entre denominador negrita 10 fin fracción negrita igual negrita menos negrita 50 fin estilo

La solución válida es x = 40, por lo que el comerciante compró 40 sacos de azúcar y le costaron 25 pesos.

Problema 2

Una persona compró cierto número de libros por 180 pesos. Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le hubiera costado un peso más. ¿Cuántos libros compró y cuanto le costó cada uno?

Si decimos que x es igual al numero de libros y cada libro costó 180/x, entonces si hubiera comprado 6 libros menos (x-6) le hubiera costado un peso más que los anteriores (180/x) + 1. La ecuación a resolver queda de la siguiente forma:

estilo tamaño 14px fracción numerador negrita 180 entre denominador abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 6 cerrar paréntesis fin fracción negrita menos negrita 1 negrita igual fracción negrita 180 entre negrita x fin estilo

estilo tamaño 14px abrir paréntesis negrita 180 negrita menos negrita x negrita más negrita 6 cerrar paréntesis negrita x negrita igual negrita 180 abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 6 cerrar paréntesis fin estilo

estilo tamaño 14px negrita 180 negrita x negrita menos negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 6 negrita x negrita igual negrita 180 negrita x negrita menos negrita 1080 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita menos negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 6 negrita x negrita más negrita 1080 negrita igual negrita 0 fin estilo

Sabiendo que a = -1, b = 6 y c = 1080, aplicamos la fórmula general:

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita coma negrita 2 fin subíndice negrita igual fracción numerador negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 6 negrita paréntesis derecho negrita más-menos raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita 6 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 1080 negrita paréntesis derecho fin raíz entre denominador negrita 2 negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho fin fracción fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita coma negrita 2 fin subíndice negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 6 negrita más-menos raíz cuadrada de negrita 36 negrita más negrita 4320 fin raíz entre denominador negrita menos negrita 2 fin fracción fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 6 negrita más negrita 66 entre denominador negrita menos negrita 2 fin fracción negrita igual negrita menos negrita 30 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 2 negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 6 negrita menos negrita 66 entre denominador negrita menos negrita 2 fin fracción negrita igual negrita 36 fin estilo

Consideramos la solución correcta x = 36; entonces la persona compró 36 libros y le costó 5 pesos cada uno.

Problema 3

Los gastos de una excursión son 90 pesos; si desisten de ir tres personas, cada una de las restantes tendrá que pagar 1 peso mas. ¿Cuántas personas van a la excursión y cuánto paga cada una?

Si x es igual al número de personas, cada persona debe pagar 90 pesos/x. Pero si desisten tres personas, esto es x - 3, ahora las personas que van a la excursión deben pagar 90 pesos/(x-3), que será igual a lo que tenían que pagar antes más 1 peso: (90/x) + 1.

estilo tamaño 14px fracción numerador negrita 90 entre denominador negrita x negrita menos negrita 3 fin fracción negrita igual fracción negrita 90 entre negrita x negrita más negrita 1 fin estilo

Rearreglamos la ecuación de la siguiente forma:

estilo tamaño 14px fracción numerador negrita 90 entre denominador negrita x negrita menos negrita 3 fin fracción negrita menos negrita 1 negrita igual fracción negrita 90 entre negrita x fin estilo

estilo tamaño 14px abrir paréntesis negrita 90 negrita menos negrita x negrita más negrita 3 cerrar paréntesis negrita x negrita igual negrita 90 abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 3 cerrar paréntesis fin estilo

Agrupamos términos iguales del lado izquierdo e igualamos a cero:

estilo tamaño 14px negrita menos negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 3 negrita x negrita más negrita 270 negrita igual negrita 0 fin estilo

sabiendo que a = -1, b = 3 y c = 270, aplicamos la fórmula general:

estilo tamaño 14px negrita x negrita igual fracción numerador negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita más-menos raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho abrir paréntesis negrita 270 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador negrita 2 abrir paréntesis negrita menos negrita 1 cerrar paréntesis fin fracción negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 3 negrita más-menos raíz cuadrada de negrita 1089 entre denominador negrita menos negrita 2 fin fracción fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 3 negrita más negrita 33 entre denominador negrita menos negrita 2 fin fracción negrita igual negrita menos negrita 15 fin estilo      estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 2 negrita igual fracción numerador negrita menos negrita 3 negrita menos negrita 33 entre denominador negrita menos negrita 2 fin fracción negrita igual negrita 18 fin estilo

Tomamos como válido el valor de x = 18, entonces la solución es que a la excursión van 18  personas y debe pagar cada una 5 pesos.

Vea también Ecuación de primer grado.

Ana Zita
Ana Zita
Graduada en bioanálisis en Universidad Central de Venezuela, con doctorado en bioquímica del Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas. Investigadora con más de diez años de experiencia en instituciones y universidades, actualmente divide la redacción de contenidos educativos con la agricultura científica.