Jerarquía de operaciones

Ana Zita
Ana Zita
Doctora en Bioquímica

En matemáticas, la jerarquía de operaciones se refiere al orden en que se deben realizar las operaciones matemáticas. Imaginemos la siguiente situación:

2 + 3 x 4 - 5 ÷ 5

Podríamos hacer el siguiente cálculo:

  • primero sumamos 2 + 3, luego multiplicamos por 4, a eso le restamos 5, y finalmente dividimos por 5.
  • O podríamos sumar 2 más 3, restar 4 y 5, multiplicar eso resultado y dividir al final por 5.

En cualquiera de los dos casos, el resultado es diferente. Por eso, existen unas reglas o instrucciones que se deben seguir para que una serie de operaciones matemáticas siempre sea resuelta de la misma forma. De esta forma, en la expresión 2 + 3 x 4 -5 ÷ 5 el resultado correcto es 13 porque:

  • primero se realizan las multiplicaciones y divisiones: 3 x 4 = 12, 5 ÷ 5 =1
  • luego se realizan las sumas y restas en el sentido de izquierda a derecha:
    2 + 12 = 14, 14 - 1 = 13.

Clave para desarrollar la jerarquía de operaciones

Regla mnemotecnica jerarquía de operaciones
Regla mnemotécnica para recordar la jerarquía de las operaciones.

Las operaciones matemáticas se realizan de la siguiente forma:

  • Los cálculos se hacen de izquierda a derecha.
  • Si hay paréntesis u otros signos de agrupación, se realizan primero esas operaciones.
  • El siguiente orden es resolver los exponentes.
  • El próximo paso es evaluar las multiplicaciones y divisiones.
  • Finalmente se realizan las sumas y restas indicadas.

Para recordar el orden de las operaciones, nos podemos valer de una regla mnemotécnica PEMDAS: Paréntesis, Exponentes, Multiplicaciones/Divisiones, Adiciones/Sustracciones.

Signos de agrupación en la jerarquía de operaciones

Los signos de agrupación indican que las operaciones dentro de ellos se realizan en primer lugar. Estos son:

  • paréntesis ( )
  • corchete [ ]
  • llaves { }

Las barras de fracciones —, las barras de valores absolutos | | y el símbolo de raíz √ también califican como signos de agrupación.

Por ejemplo, 5 x (3 + 4), esto indica que primero tenemos que sumar lo que está dentro del paréntesis y luego ese resultado se multiplica por 5:

5 x (3 + 4) = 5 x (7)= 5 x 7= 35

Cuando aparecen varios signos de agrupación, el orden de resolución es el siguiente: primero los paréntesis, seguido de corchetes y al final las llaves, es decir desde adentro hacia afuera.

{[(3+4) + (4-3)] x (2 + 1)}

Primero resolvemos las operaciones dentro de los paréntesis:

{[7 + 1]x 3}

Luego, se resuelven las operaciones dentro de los corchetes:

{[7+1] x 3}= {8 x 3}

Finalmente, se desarrollan las llaves:

{ 8 x 3 } = 24

Ejemplo

fracción numerador negrita 7 negrita más negrita 5 entre denominador negrita 3 negrita más negrita 1 fin fracción

En este caso tenemos una barra de fracción, asi que realizamos las operaciones sobre y bajo la barra primero:

7+ 5 = 12 y 3 + 1 = 4, nos queda la fracción 12/4 que es igual a 3:

fracción negrita 12 entre negrita 4 negrita igual negrita 3

Operaciones de suma y resta en que no hay signos de agrupación

En este caso se realizan las operaciones en el orden que se presentan:

5 + 3 - 4 + 2 - 6 + 2 ⇒

5 + 3 = 8,

8 - 4 = 4,

4 + 2 = 6,

6 - 6 = 0,

0 + 2 = 2

Ejemplo

1) 32-19+40-20+30-50

Hacemos las operaciones paso por paso:

32-19=13,

13+40=53,

53-20=33,

33+30=63,

63-50=13

2) 60-40+108-104+320-133-45

Hacemos las operaciones paso a paso:

60 - 40 = 20,

20 + 108 = 128,

128 - 104 = 24,

24 + 320 = 344,

344 - 133 = 211,

211 - 45 = 166.

Operaciones de suma y resta en que hay signos de agrupación

Se realizan primero las operaciones dentro de los paréntesis hasta que sólo queda un número:

678 - [(34 + 28) + (73 - 15) - (12 + 43)]⇒

34 + 28 = 62, 73 - 15 = 58, 12 + 43 = 55,

luego se resuelven las operaciones dentro del corchete:

62 + 58 = 120, 120 -55 = 65,

Finalmente se realiza el resto de las operaciones;

678 - 65 = 613.

Operaciones de multiplicación en que no hay signos de agrupación

Cuando no hay signos de agrupación, se realizan primero las multiplicaciones, seguido de las sumas y las restas:

3 x 4 + 5 x 6 ⇒

3 x 4 = 12, 5 x 6 = 30,

12 + 30 = 42

Ejemplo

15 - 5 x 3 + 4, primero se realiza la multiplicación:

5 x 3 = 15;

luego las sumas y las restas en el orden que aparecen:

15 -15 + 4 ⇒15 - 15 = 0,

0 + 4 = 4.

Operaciones de multiplicación con signos de agrupación

En estos casos se realizan primero las operaciones encerradas en los signos de agrupación, y luego las operaciones indicadas:

(5 - 2) 3 + 6 (4 - 1) ⇒ las operaciones dentro de los paréntesis:

5 - 2 = 3,

4 - 1 = 3;

ahora se realizan las multiplicaciones correspondientes:

(3 )3 = 9 y 6 (3) = 18; finalmente se suman los dos términos obtenidos:

9+18= 27

Ejemplo

(20 - 5 + 2)(16 - 3 + 2 - 1)⇒ 20 - 5 = 15, 15 + 2 = 17;

16 - 3 = 13, 13 + 2 = 15, 15 - 1 =14;

luego multiplicamos los resultados obtenidos de los paréntesis:

17 x 14=238

Operaciones de división o multiplicación en que no hay signos de agrupación

En estos casos se realizan primero las divisiones y multiplicaciones, y luego las sumas y restas:

12 ÷ 3 x 4 ÷ 2 x 6; las divisiones son 12 ÷ 3 = 4 y 4 ÷ 2 = 2;

luego la expresión queda como 4 x 2 x 6 = 48.

Ejemplo

10 ÷ 5 + 4 - 16 ÷ 8 - 2 + 4 ÷ 4 - 1⇒ primero realizamos las divisiones:

10 ÷5 = 2, 16 ÷ 8 = 2, 4 ÷ 4 = 1;

continuamos las operaciones indicadas en orden: 2 + 4 - 2 - 2 + 1 - 1

2 + 4 = 6, 6 - 2 = 4, 4 - 2 = 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1 = 2.

La respuesta final a 10 ÷ 5 + 4 - 16 ÷ 8 - 2 + 4 ÷ 4 - 1 es 2.

Operaciones de división o multiplicación con signos de agrupación

En estos casos se realizan primero las operaciones encerradas en los signos de agrupación, y luego las operaciones indicadas:

150 ÷ (25 x 2) + 32 ÷ (8 x 2)⇒ primero realizamos las operaciones dentro de los paréntesis:

25 x 2 = 50, 8 x 2 = 16;

luego realizamos las divisiones:

150 ÷ 50 = 3, 32 ÷ 16 = 2;

Finalmente hacemos la suma:

3 + 2 = 5.

Ejemplo

200 ÷ (8 - 6) (5 - 3)⇒ realizamos las operaciones entre paréntesis:

8 - 6 = 2, 5 - 3 = 2;

luego realizamos la división:

200 ÷ 2 = 100;

y finalmente la multiplicación:

100 x 2 = 200

La respuesta final a 150 ÷ (25 x 2) + 32 ÷ (8 x 2) es 200.

Operaciones con raíces √

El símbolo de radical √ también funciona como un signo de agrupación, por lo que se deben realizar primero las operaciones abrazadas por este símbolo:

negrita 3 negrita más negrita espacio negrita 4 raíz cuadrada de negrita 12 negrita espacio negrita más negrita espacio negrita 13 fin raíz

Primero desarrollamos la suma debajo de la raíz cuadrada:

12 + 13 = 25; sacamos la raíz cuadrada de 25:

√25 = 5; a continuación se realiza la multiplicación:

4 x 5 = 20;

terminamos con la suma:

3 + 20 = 23.

Operaciones con exponentes

Las expresiones con exponentes también tienen prioridad sobre las otras operaciones.

60 - 3 x 4 + (1 + 1)2.

Realizamos la operación dentro del paréntesis:

(1+ 1)2 = 22 = 4;

Continuamos con la multiplicación:

3 x 4 = 12; terminamos las operaciones en el orden indicado:

60 - 12 + 4 = 52

Vea también:

Ejercicios para practicar el orden de las operaciones

negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 4 elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita dividido por negrita 4

Primero se resuelve lo que está dentro de paréntesis:

negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 4 elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita dividido por negrita 4 negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 64 negrita paréntesis derecho negrita dividido por negrita 4 negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita paréntesis izquierdo negrita 128 negrita paréntesis derecho negrita dividido por negrita 4

Segundo se resuelve la división:

negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 128 negrita dividido por negrita 4 negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 32

Finalmente, se realiza esta multiplicación:

negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 32 negrita igual negrita 96

Respuesta= 96

estilo tamaño 16px negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 915 negrita menos negrita 316 negrita más negrita 518 negrita menos negrita 354 negrita más negrita 15 fin estilo

Sumamos todos los términos positivos:

estilo tamaño 16px negrita 915 negrita más negrita 518 negrita más negrita 15 negrita igual negrita 1448 fin estilo

Sumamos todos los términos negativos:

estilo tamaño 16px negrita menos negrita 316 negrita menos negrita 354 negrita igual negrita menos negrita 670 fin estilo

Luego restamos los dos resultados anteriores:

estilo tamaño 16px negrita 1448 negrita menos negrita 670 negrita igual negrita 778 fin estilo

Respuesta= 778

estilo tamaño 16px negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita espacio estilo negrita corchete izquierdo 8 más abrir paréntesis 4 menos 2 cerrar paréntesis corchete derecho fin estilo negrita más estilo negrita corchete izquierdo 9 menos abrir paréntesis 3 más 1 cerrar paréntesis corchete derecho fin estilo fin estilo

Primero resolvemos las operaciones en paréntesis:

estilo tamaño 16px estilo negrita paréntesis izquierdo 4 menos 2 paréntesis derecho fin estilo negrita igual negrita 2 estilo negrita paréntesis izquierdo 3 más 1 paréntesis derecho fin estilo negrita igual negrita 4 fin estilo

Ahora sustituimos los resultados en sus respectivas posiciones y realizamos las operaciones de los corchetes:

estilo tamaño 16px estilo negrita corchete izquierdo 8 más 2 corchete derecho fin estilo negrita igual negrita 10 estilo negrita corchete izquierdo 9 menos 4 corchete derecho fin estilo negrita igual negrita 5 fin estilo

Realizamos la última operación:

estilo tamaño 16px negrita 10 negrita más negrita 5 negrita igual negrita 15 fin estilo

Respuesta= 15

negrita 4 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 8 negrita menos negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 2 negrita más negrita 6 negrita más negrita 7 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita menos negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 4 negrita más negrita 16

Primero realizamos las multiplicaciones:

negrita 8 negrita menos negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 2 negrita más negrita 6 negrita más negrita 7 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita menos negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 4 negrita más negrita 16 negrita 8 negrita menos negrita 4 negrita más negrita 6 negrita más negrita 21 negrita menos negrita 12 negrita más negrita 16

Ahora sumamos los términos positivos:

negrita 8 negrita más negrita 6 negrita más negrita 21 negrita más negrita 16 negrita igual negrita 51

Luego sumamos los términos negativos:

estilo tamaño 16px negrita menos negrita 4 negrita menos negrita 12 negrita igual negrita menos negrita 16 fin estilo

Finalmente restamos los resultados anteriores:

estilo tamaño 16px negrita 51 negrita menos negrita 16 negrita igual negrita 35 fin estilo

Respuesta= 35

negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 8 negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita más negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita más negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita menos negrita 4 negrita paréntesis derecho

Primero efectuamos las operaciones dentro de los paréntesis:

negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 8 negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita más negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita más negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita menos negrita 4 negrita paréntesis derecho negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 7 negrita paréntesis derecho negrita más negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita paréntesis derecho

De seguido, efectuamos las multiplicaciones:

estilo tamaño 16px negrita 3 estilo negrita paréntesis izquierdo 7 paréntesis derecho fin estilo negrita más negrita 4 estilo negrita paréntesis izquierdo 5 paréntesis derecho fin estilo negrita menos negrita 3 estilo negrita paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho fin estilo negrita 21 negrita más negrita 20 negrita menos negrita 3 fin estilo

Finalmente hacemos las sumas y resta:

estilo tamaño 16px negrita 21 negrita más negrita 20 negrita menos negrita 3 negrita igual negrita 38 fin estilo

Respuesta= 38

estilo tamaño 16px negrita 6 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 40 negrita dividido por negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 5 negrita más negrita 6 negrita dividido por negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita más negrita 4 negrita menos negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 2 negrita dividido por negrita 10 fin estilo

Primero resolvemos las divisiones:

negrita 40 negrita dividido por negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 5 negrita más negrita 6 negrita dividido por negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita más negrita 4 negrita menos negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 2 negrita dividido por negrita 10 negrita 8 negrita multiplicación en cruz negrita 5 negrita más negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita más negrita 4 negrita menos negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 0 negrita coma negrita 2

Luego resolvemos las multiplicaciones:

negrita 8 negrita multiplicación en cruz negrita 5 negrita más negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita más negrita 4 negrita menos negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 0 negrita coma negrita 2 negrita 40 negrita más negrita 9 negrita más negrita 4 negrita menos negrita 1

Finalizamos las operaciones restantes:

negrita 40 negrita más negrita 9 negrita más negrita 4 negrita menos negrita 1 negrita igual negrita espacio negrita 52

Respuesta= 52

negrita 7 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 9 negrita corchete izquierdo negrita 15 negrita dividido por estilo negrita paréntesis izquierdo 6 menos 1 paréntesis derecho fin estilo negrita menos estilo negrita paréntesis izquierdo 9 menos 3 paréntesis derecho fin estilo negrita dividido por negrita 2 negrita corchete derecho

Primero realizamos los paréntesis:

negrita 9 negrita corchete izquierdo negrita 15 negrita dividido por negrita paréntesis izquierdo negrita 6 negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 9 negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita dividido por negrita 2 negrita corchete derecho

6-1=5; 9 - 3 = 6;

luego realizamos las divisiones dentro de los corchetes:

negrita 9 negrita corchete izquierdo negrita 15 negrita dividido por negrita 5 negrita menos negrita 6 negrita dividido por negrita 2 negrita corchete derecho

15 ÷ 5 = 3; 6 ÷ 2 = 3;

continuamos con la resta dentro del corchete:

negrita 9 negrita corchete izquierdo negrita 3 negrita menos negrita 3 negrita corchete derecho negrita igual negrita 9 estilo negrita corchete izquierdo 0 corchete derecho fin estilo

finalizamos con la multiplicación: 9 x 0 = 0

Respuesta= 0.

estilo tamaño 16px negrita 8 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 100 negrita más negrita 8 negrita multiplicación en cruz negrita 3 elevado a negrita 2 negrita menos negrita 63 negrita dividido por estilo negrita paréntesis izquierdo 2 más 5 paréntesis derecho fin estilo fin estilo

Primero realizamos los paréntesis:

negrita 100 negrita más negrita 8 negrita multiplicación en cruz negrita 3 elevado a negrita 2 negrita menos negrita 63 negrita dividido por negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita más negrita 5 negrita paréntesis derecho

2 + 5 = 7;

Luego los exponentes: 3 2 = 9;

Luego las divisiones y multiplicaciones:

estilo tamaño 16px negrita 100 negrita más negrita 8 negrita multiplicación en cruz negrita 9 negrita menos negrita 63 negrita dividido por negrita 7 negrita 100 negrita más negrita 72 negrita menos negrita 9 fin estilo

Finalizamos con las sumas y restas:

negrita 100 negrita más negrita 72 negrita menos negrita 9 negrita igual negrita 163

Respuesta= 163.