Jerarquía de operaciones

Ana Zita
Ana Zita
Científica

En matemáticas, la jerarquía de operaciones se refiere al orden en que se deben realizar las operaciones matemáticas. Imaginemos la siguiente situación:

2 + 3 x 4 - 5 ÷ 5

Podríamos hacer el siguiente cálculo:

  • primero sumamos 2 + 3, luego multiplicamos por 4, a eso le restamos 5, y finalmente dividimos por 5.
  • O podríamos sumar 2 más 3, restar 4 y 5, multiplicar eso resultado y dividir al final por 5.

En cualquiera de los dos casos, el resultado es diferente. Por eso, existen unas reglas o instrucciones que se deben seguir para que una serie de operaciones matemáticas siempre sea resuelta de la misma forma. De esta forma, en la expresión 2 + 3 x 4 -5 ÷ 5 el resultado correcto es 13 porque:

  • primero se realizan las multiplicaciones/ divisiones: 3 x 4 = 12, 5 ÷ 5 =1
  • luego se realizan las sumas y restas en el sentido de izquierda a derecha:
    2 + 12 = 14, 14 - 1 = 13.

Clave para desarrollar la jerarquía de operaciones

Regla mnemotecnica jerarquía de operaciones
Regla mnemotécnica para recordar la jerarquía de las operaciones.

Las operaciones matemáticas se realizan de la siguiente forma:

  • Los cálculos se hacen de izquierda a derecha.
  • Si hay paréntesis u otros signos de agrupación, se realizan primero esas operaciones.
  • El siguiente orden es resolver los exponentes.
  • El próximo paso es evaluar las multiplicaciones y divisiones.
  • Finalmente se realizan las sumas y restas indicadas.

Para recordar el orden de las operaciones, nos podemos valer de una regla mnemotécnica PEMDAS: Paréntesis, Exponentes, Multiplicaciones/Divisiones, Adiciones/Sustracciones.

Signos de agrupación en la jerarquía de operaciones

Los signos de agrupación indican que las operaciones dentro de ellos se realizan en primer lugar. Estos son:

  • paréntesis ( )
  • corchete [ ]
  • llaves { }

Las barras de fracciones —, las barras de valores absolutos | | y el símbolo de raíz √ también califican como signos de agrupación.

Por ejemplo, 5 x (3 + 4), esto indica que primero tenemos que sumar lo que está dentro del paréntesis y luego ese resultado se multiplica por 5:

5 x (3 + 4) = 5 x (7)= 5 x 7= 35

Cuando aparecen varios signos de agrupación, el orden de resolución es el siguiente: primero los paréntesis, seguido de corchetes y al final las llaves, es decir desde adentro hacia afuera.

{[(3+4) + (4-3)] x (2 + 1)}

Primero resolvemos las operaciones dentro de los paréntesis:

{[7 + 1]x 3}

Luego, se resuelven las operaciones dentro de los corchetes:

{[7+1] x 3}= {8 x 3}

Finalmente, se desarrollan las llaves:

{ 8 x 3 } = 24

Ejemplo

fracción numerador negrita 7 negrita más negrita 5 entre denominador negrita 3 negrita más negrita 1 fin fracción

En este caso tenemos una barra de fracción, asi que realizamos las operaciones sobre y bajo la barra primero:

7+ 5 = 12 y 3 + 1 = 4, nos queda la fracción 12/4 que es igual a 3:

fracción negrita 12 entre negrita 4 negrita igual negrita 3

Operaciones de suma y resta en que no hay signos de agrupación

En este caso se realizan las operaciones en el orden que se presentan:

5 + 3 - 4 + 2 - 6 + 2 ⇒

5 + 3 = 8,

8 - 4 = 4,

4 + 2 = 6,

6 - 6 = 0,

0 + 2 = 2

Ejemplo

1) 32-19+40-20+30-50

Hacemos las operaciones paso por paso:

32-19=13,

13+40=53,

53-20=33,

33+30=63,

63-50=13

2) 60-40+108-104+320-133-45

Hacemos las operaciones paso a paso:

60 - 40 = 20,

20 + 108 = 128,

128 - 104 = 24,

24 + 320 = 344,

344 - 133 = 211,

211 - 45 = 166.

Operaciones de suma y resta en que hay signos de agrupación

Se realizan primero las operaciones dentro de los paréntesis hasta que sólo queda un número:

678 - [(34 + 28) + (73 - 15) - (12 + 43)]⇒

34 + 28 = 62, 73 - 15 = 58, 12 + 43 = 55,

luego se resuelven las operaciones dentro del corchete:

62 + 58 = 120, 120 -55 = 65,

Finalmente se realiza el resto de las operaciones;

678 - 65 = 613.

Operaciones de multiplicación en que no hay signos de agrupación

Cuando no hay signos de agrupación, se realizan primero las multiplicaciones, seguido de las sumas y las restas:

3 x 4 + 5 x 6 ⇒

3 x 4 = 12, 5 x 6 = 30,

12 + 30 = 42

Ejemplo

15 - 5 x 3 + 4, primero se realiza la multiplicación:

5 x 3 = 15;

luego las sumas y las restas en el orden que aparecen:

15 -15 + 4 ⇒15 - 15 = 0,

0 + 4 = 4.

Operaciones de multiplicación con signos de agrupación

En estos casos se realizan primero las operaciones encerradas en los signos de agrupación, y luego las operaciones indicadas:

(5 - 2) 3 + 6 (4 - 1) ⇒ las operaciones dentro de los paréntesis:

5 - 2 = 3,

4 - 1 = 3;

ahora se realizan las multiplicaciones correspondientes:

(3 )3 = 9 y 6 (3) = 18; finalmente se suman los dos términos obtenidos:

9+18= 27

Ejemplo

(20 - 5 + 2)(16 - 3 + 2 - 1)⇒ 20 - 5 = 15, 15 + 2 = 17;

16 - 3 = 13, 13 + 2 = 15, 15 - 1 =14;

luego multiplicamos los resultados obtenidos de los paréntesis:

17 x 14=238

Operaciones de división o multiplicación en que no hay signos de agrupación

En estos casos se realizan primero las divisiones y multiplicaciones, y luego las sumas y restas:

12 ÷ 3 x 4 ÷ 2 x 6; las divisiones son 12 ÷ 3 = 4 y 4 ÷ 2 = 2;

luego la expresión queda como 4 x 2 x 6 = 48.

Ejemplo

10 ÷ 5 + 4 - 16 ÷ 8 - 2 + 4 ÷ 4 - 1⇒ primero realizamos las divisiones:

10 ÷5 = 2, 16 ÷ 8 = 2, 4 ÷ 4 = 1;

continuamos las operaciones indicadas en orden: 2 + 4 - 2 - 2 + 1 - 1

2 + 4 = 6, 6 - 2 = 4, 4 - 2 = 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1 = 2.

La respuesta final a 10 ÷ 5 + 4 - 16 ÷ 8 - 2 + 4 ÷ 4 - 1 es 2.

Operaciones de división o multiplicación con signos de agrupación

En estos casos se realizan primero las operaciones encerradas en los signos de agrupación, y luego las operaciones indicadas:

150 ÷ (25 x 2) + 32 ÷ (8 x 2)⇒ primero realizamos las operaciones dentro de los paréntesis:

25 x 2 = 50, 8 x 2 = 16;

luego realizamos las divisiones:

150 ÷ 50 = 3, 32 ÷ 16 = 2;

Finalmente hacemos la suma:

3 + 2 = 5.

Ejemplo

200 ÷ (8 - 6) (5 - 3)⇒ realizamos las operaciones entre paréntesis:

8 - 6 = 2, 5 - 3 = 2;

luego realizamos la división:

200 ÷ 2 = 100;

y finalmente la multiplicación:

100 x 2 = 200

La respuesta final a 150 ÷ (25 x 2) + 32 ÷ (8 x 2) es 200.

Operaciones con raíces √

El símbolo de radical √ también funciona como un signo de agrupación, por lo que se deben realizar primero las operaciones abrazadas por este símbolo:

negrita 3 negrita más negrita espacio negrita 4 raíz cuadrada de negrita 12 negrita espacio negrita más negrita espacio negrita 13 fin raíz

Primero desarrollamos la suma debajo de la raíz cuadrada:

12 + 13 = 25; sacamos la raíz cuadrada de 25:

√25 = 5; a continuación se realiza la multiplicación:

4 x 5 = 20;

terminamos con la suma:

3 + 20 = 23.

Operaciones con exponentes

Las expresiones con exponentes también tienen prioridad sobre las otras operaciones.

60 - 3 x 4 + (1 + 1)2.

Realizamos la operación dentro del paréntesis:

(1+ 1)2 = 22 = 4;

Continuamos con la multiplicación:

3 x 4 = 12; terminamos las operaciones en el orden indicado:

60 - 12 + 4 = 52

Ejercicios para practicar el orden de las operaciones

1) 3 x (2 x 43) /4

Primero se resuelve lo que está dentro de paréntesis:

(2 x 43), dentro del paréntesis se resuelve el exponente 43, que es igual a 64;

2 x 64 = 128

Segundo se resuelve la división 128/4=32

Finalmente, se realiza esta multiplicación 3 x 32= 96

2) 915-316+518-354+15

915-316=599, 599+518=1117, 1117-354=763, 763+15=778

Respuesta=778

3)[8+(4-2)]+[9-(3+1)]

[8+2]+[9-4]=10+5=15

Respuesta=15

4) 8 - 2 x 2 + 6 + 7 x 3 - 3 x 4 + 16

8-4+6+21-12+16⇒8-4=4, 4+6=10, 10+21=31, 31-12=19, 19+16=35

Respuesta=35

5) 3(8-1)+4(3+2)-3(5-4)

3(7)+4(5)-3(1)=21+20-3=38

Respuesta=38

6) 40÷5 x5+6÷2 x3+4-5 x2÷10

40÷5=8, 6÷2=3, 2÷10=0,2

8 x 5=40, 3 x 3 =9, 5 x 0,2=1

40 + 9 + 4 -1= 52

Respuesta= 52

7) 9 [15 ÷ (6 - 1) - (9 - 3) ÷ 2]

Primero realizamos los paréntesis: 6-1=5; 9 - 3 = 6;

luego realizamos las divisiones dentro de los corchetes: 15 ÷ 5 = 3; 6 ÷ 2 = 3;

continuamos con la resta dentro del corchete: 3 - 3 = 0;

finalizamos con la multiplicación: 9 x 0 = 0

respuesta =0.

8) 100 + 8 x 32 - 63 ÷ (2+5)

Primero realizamos los paréntesis: 2 + 5 = 7;

Luego los exponentes : 3 2 = 9;

Luego las divisiones y multiplicaciones: 8 x 9 = 72, 63 ÷ 7 = 9;

Finalizamos con las sumas y restas: 100 + 72 - 9 = 163

Respuesta= 0.

Ana Zita
Ana Zita
Doctorado en bioquímica del Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas con licenciatura en bioanálisis de la Universidad Central de Venezuela. Investigadora con más de diez años de experiencia en instituciones científicas en Venezuela y Australia. Actualmente divide la redacción de contenidos educativos con la agricultura científica.