Jerarquía de operaciones

En matemáticas, la jerarquía de operaciones se refiere al orden en que se deben realizar las operaciones matemáticas. Imaginemos la siguiente situación:

2 + 3 x 4 - 5 ÷ 5

Podríamos hacer el siguiente cálculo:

  • primero sumamos 2 + 3, luego multiplicamos por 4, a eso le restamos 5, y finalmente dividimos por 5.
  • O podríamos sumar 2 más 3, restar 4 y 5, multiplicar eso resultado y dividir al final por 5.

En cualquiera de los dos casos, el resultado es diferente. Por eso, existen unas reglas o instrucciones que se deben seguir para que una serie de operaciones matemáticas siempre sea resuelta de la misma forma. De esta forma, en la expresión 2 + 3 x 4 -5 ÷ 5 el resultado correcto es 13 porque:

  • primero se realizan las multiplicaciones y divisiones: 3 x 4 = 12, 5 ÷ 5 =1
  • luego se realizan las sumas y restas en el sentido de izquierda a derecha:
    2 + 12 = 14, 14 - 1 = 13.

Clave para desarrollar la jerarquía de operaciones

Regla mnemotecnica jerarquía de operaciones
Regla mnemotécnica para recordar la jerarquía de las operaciones.

Las operaciones matemáticas se realizan de la siguiente forma:

  • Los cálculos se hacen de izquierda a derecha.
  • Si hay paréntesis u otros signos de agrupación, se realizan primero esas operaciones.
  • El siguiente orden es resolver los exponentes.
  • El próximo paso es evaluar las multiplicaciones y divisiones.
  • Finalmente se realizan las sumas y restas indicadas.

Para recordar el orden de las operaciones, nos podemos valer de una regla mnemotécnica PEMDAS: Paréntesis, Exponentes, Multiplicaciones/Divisiones, Adiciones/Sustracciones.

Signos de agrupación en la jerarquía de operaciones

Los signos de agrupación indican que las operaciones dentro de ellos se realizan en primer lugar. Estos son:

  • paréntesis ( )
  • corchete [ ]
  • llaves { }

Las barras de fracciones —, las barras de valores absolutos | | y el símbolo de raíz √ también califican como signos de agrupación.

Por ejemplo, 5 x (3 + 4), esto indica que primero tenemos que sumar lo que está dentro del paréntesis y luego ese resultado se multiplica por 5:

5 x (3 + 4) = 5 x (7)= 5 x 7= 35

Cuando aparecen varios signos de agrupación, el orden de resolución es el siguiente: primero los paréntesis, seguido de corchetes y al final las llaves, es decir desde adentro hacia afuera.

{[(3+4) + (4-3)] x (2 + 1)}

Primero resolvemos las operaciones dentro de los paréntesis:

{[7 + 1]x 3}

Luego, se resuelven las operaciones dentro de los corchetes:

{[7+1] x 3}= {8 x 3}

Finalmente, se desarrollan las llaves:

{ 8 x 3 } = 24

Ejemplo

fracción numerador negrita 7 negrita más negrita 5 entre denominador negrita 3 negrita más negrita 1 fin fracción

En este caso tenemos una barra de fracción, asi que realizamos las operaciones sobre y bajo la barra primero:

7+ 5 = 12 y 3 + 1 = 4, nos queda la fracción 12/4 que es igual a 3:

fracción negrita 12 entre negrita 4 negrita igual negrita 3

Operaciones de suma y resta en que no hay signos de agrupación

En este caso se realizan las operaciones en el orden que se presentan:

5 + 3 - 4 + 2 - 6 + 2 ⇒

5 + 3 = 8,

8 - 4 = 4,

4 + 2 = 6,

6 - 6 = 0,

0 + 2 = 2

Ejemplo

1) 32-19+40-20+30-50

Hacemos las operaciones paso por paso:

32-19=13,

13+40=53,

53-20=33,

33+30=63,

63-50=13

2) 60-40+108-104+320-133-45

Hacemos las operaciones paso a paso:

60 - 40 = 20,

20 + 108 = 128,

128 - 104 = 24,

24 + 320 = 344,

344 - 133 = 211,

211 - 45 = 166.

Operaciones de suma y resta en que hay signos de agrupación

Se realizan primero las operaciones dentro de los paréntesis hasta que sólo queda un número:

678 - [(34 + 28) + (73 - 15) - (12 + 43)]⇒

34 + 28 = 62, 73 - 15 = 58, 12 + 43 = 55,

luego se resuelven las operaciones dentro del corchete:

62 + 58 = 120, 120 -55 = 65,

Finalmente se realiza el resto de las operaciones;

678 - 65 = 613.

Operaciones de multiplicación en que no hay signos de agrupación

Cuando no hay signos de agrupación, se realizan primero las multiplicaciones, seguido de las sumas y las restas:

3 x 4 + 5 x 6 ⇒

3 x 4 = 12, 5 x 6 = 30,

12 + 30 = 42

Ejemplo

15 - 5 x 3 + 4, primero se realiza la multiplicación:

5 x 3 = 15;

luego las sumas y las restas en el orden que aparecen:

15 -15 + 4 ⇒15 - 15 = 0,

0 + 4 = 4.

Operaciones de multiplicación con signos de agrupación

En estos casos se realizan primero las operaciones encerradas en los signos de agrupación, y luego las operaciones indicadas:

(5 - 2) 3 + 6 (4 - 1) ⇒ las operaciones dentro de los paréntesis:

5 - 2 = 3,

4 - 1 = 3;

ahora se realizan las multiplicaciones correspondientes:

(3 )3 = 9 y 6 (3) = 18; finalmente se suman los dos términos obtenidos:

9+18= 27

Ejemplo

(20 - 5 + 2)(16 - 3 + 2 - 1)⇒ 20 - 5 = 15, 15 + 2 = 17;

16 - 3 = 13, 13 + 2 = 15, 15 - 1 =14;

luego multiplicamos los resultados obtenidos de los paréntesis:

17 x 14=238

Operaciones de división o multiplicación en que no hay signos de agrupación

En estos casos se realizan primero las divisiones y multiplicaciones, y luego las sumas y restas:

12 ÷ 3 x 4 ÷ 2 x 6; las divisiones son 12 ÷ 3 = 4 y 4 ÷ 2 = 2;

luego la expresión queda como 4 x 2 x 6 = 48.

Ejemplo

10 ÷ 5 + 4 - 16 ÷ 8 - 2 + 4 ÷ 4 - 1⇒ primero realizamos las divisiones:

10 ÷5 = 2, 16 ÷ 8 = 2, 4 ÷ 4 = 1;

continuamos las operaciones indicadas en orden: 2 + 4 - 2 - 2 + 1 - 1

2 + 4 = 6, 6 - 2 = 4, 4 - 2 = 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1 = 2.

La respuesta final a 10 ÷ 5 + 4 - 16 ÷ 8 - 2 + 4 ÷ 4 - 1 es 2.

Operaciones de división o multiplicación con signos de agrupación

En estos casos se realizan primero las operaciones encerradas en los signos de agrupación, y luego las operaciones indicadas:

150 ÷ (25 x 2) + 32 ÷ (8 x 2)⇒ primero realizamos las operaciones dentro de los paréntesis:

25 x 2 = 50, 8 x 2 = 16;

luego realizamos las divisiones:

150 ÷ 50 = 3, 32 ÷ 16 = 2;

Finalmente hacemos la suma:

3 + 2 = 5.

Ejemplo

200 ÷ (8 - 6) (5 - 3)⇒ realizamos las operaciones entre paréntesis:

8 - 6 = 2, 5 - 3 = 2;

luego realizamos la división:

200 ÷ 2 = 100;

y finalmente la multiplicación:

100 x 2 = 200

La respuesta final a 150 ÷ (25 x 2) + 32 ÷ (8 x 2) es 200.

Operaciones con raíces √

El símbolo de radical √ también funciona como un signo de agrupación, por lo que se deben realizar primero las operaciones abrazadas por este símbolo:

negrita 3 negrita más negrita espacio negrita 4 raíz cuadrada de negrita 12 negrita espacio negrita más negrita espacio negrita 13 fin raíz

Primero desarrollamos la suma debajo de la raíz cuadrada:

12 + 13 = 25; sacamos la raíz cuadrada de 25:

√25 = 5; a continuación se realiza la multiplicación:

4 x 5 = 20;

terminamos con la suma:

3 + 20 = 23.

Operaciones con exponentes

Las expresiones con exponentes también tienen prioridad sobre las otras operaciones.

60 - 3 x 4 + (1 + 1)2.

Realizamos la operación dentro del paréntesis:

(1+ 1)2 = 22 = 4;

Continuamos con la multiplicación:

3 x 4 = 12; terminamos las operaciones en el orden indicado:

60 - 12 + 4 = 52

Vea también:

Ejercicios para practicar el orden de las operaciones

negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 4 elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita dividido por negrita 4

Primero se resuelve lo que está dentro de paréntesis:

negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 4 elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita dividido por negrita 4 negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 64 negrita paréntesis derecho negrita dividido por negrita 4 negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita paréntesis izquierdo negrita 128 negrita paréntesis derecho negrita dividido por negrita 4

Segundo se resuelve la división:

negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 128 negrita dividido por negrita 4 negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 32

Finalmente, se realiza esta multiplicación:

negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 32 negrita igual negrita 96

Respuesta= 96

estilo tamaño 16px negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 915 negrita menos negrita 316 negrita más negrita 518 negrita menos negrita 354 negrita más negrita 15 fin estilo

Sumamos todos los términos positivos:

estilo tamaño 16px negrita 915 negrita más negrita 518 negrita más negrita 15 negrita igual negrita 1448 fin estilo

Sumamos todos los términos negativos:

estilo tamaño 16px negrita menos negrita 316 negrita menos negrita 354 negrita igual negrita menos negrita 670 fin estilo

Luego restamos los dos resultados anteriores:

estilo tamaño 16px negrita 1448 negrita menos negrita 670 negrita igual negrita 778 fin estilo

Respuesta= 778

estilo tamaño 16px negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita espacio estilo negrita corchete izquierdo 8 más abrir paréntesis 4 menos 2 cerrar paréntesis corchete derecho fin estilo negrita más estilo negrita corchete izquierdo 9 menos abrir paréntesis 3 más 1 cerrar paréntesis corchete derecho fin estilo fin estilo

Primero resolvemos las operaciones en paréntesis:

estilo tamaño 16px estilo negrita paréntesis izquierdo 4 menos 2 paréntesis derecho fin estilo negrita igual negrita 2 estilo negrita paréntesis izquierdo 3 más 1 paréntesis derecho fin estilo negrita igual negrita 4 fin estilo

Ahora sustituimos los resultados en sus respectivas posiciones y realizamos las operaciones de los corchetes:

estilo tamaño 16px estilo negrita corchete izquierdo 8 más 2 corchete derecho fin estilo negrita igual negrita 10 estilo negrita corchete izquierdo 9 menos 4 corchete derecho fin estilo negrita igual negrita 5 fin estilo

Realizamos la última operación:

estilo tamaño 16px negrita 10 negrita más negrita 5 negrita igual negrita 15 fin estilo

Respuesta= 15

negrita 4 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 8 negrita menos negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 2 negrita más negrita 6 negrita más negrita 7 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita menos negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 4 negrita más negrita 16

Primero realizamos las multiplicaciones:

negrita 8 negrita menos negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 2 negrita más negrita 6 negrita más negrita 7 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita menos negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 4 negrita más negrita 16 negrita 8 negrita menos negrita 4 negrita más negrita 6 negrita más negrita 21 negrita menos negrita 12 negrita más negrita 16

Ahora sumamos los términos positivos:

negrita 8 negrita más negrita 6 negrita más negrita 21 negrita más negrita 16 negrita igual negrita 51

Luego sumamos los términos negativos:

estilo tamaño 16px negrita menos negrita 4 negrita menos negrita 12 negrita igual negrita menos negrita 16 fin estilo

Finalmente restamos los resultados anteriores:

estilo tamaño 16px negrita 51 negrita menos negrita 16 negrita igual negrita 35 fin estilo

Respuesta= 35

negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 8 negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita más negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita más negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita menos negrita 4 negrita paréntesis derecho

Primero efectuamos las operaciones dentro de los paréntesis:

negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 8 negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita más negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita más negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita menos negrita 4 negrita paréntesis derecho negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 7 negrita paréntesis derecho negrita más negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita paréntesis derecho

De seguido, efectuamos las multiplicaciones:

estilo tamaño 16px negrita 3 estilo negrita paréntesis izquierdo 7 paréntesis derecho fin estilo negrita más negrita 4 estilo negrita paréntesis izquierdo 5 paréntesis derecho fin estilo negrita menos negrita 3 estilo negrita paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho fin estilo negrita 21 negrita más negrita 20 negrita menos negrita 3 fin estilo

Finalmente hacemos las sumas y resta:

estilo tamaño 16px negrita 21 negrita más negrita 20 negrita menos negrita 3 negrita igual negrita 38 fin estilo

Respuesta= 38

estilo tamaño 16px negrita 6 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 40 negrita dividido por negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 5 negrita más negrita 6 negrita dividido por negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita más negrita 4 negrita menos negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 2 negrita dividido por negrita 10 fin estilo

Primero resolvemos las divisiones:

negrita 40 negrita dividido por negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 5 negrita más negrita 6 negrita dividido por negrita 2 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita más negrita 4 negrita menos negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 2 negrita dividido por negrita 10 negrita 8 negrita multiplicación en cruz negrita 5 negrita más negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita más negrita 4 negrita menos negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 0 negrita coma negrita 2

Luego resolvemos las multiplicaciones:

negrita 8 negrita multiplicación en cruz negrita 5 negrita más negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita más negrita 4 negrita menos negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 0 negrita coma negrita 2 negrita 40 negrita más negrita 9 negrita más negrita 4 negrita menos negrita 1

Finalizamos las operaciones restantes:

negrita 40 negrita más negrita 9 negrita más negrita 4 negrita menos negrita 1 negrita igual negrita espacio negrita 52

Respuesta= 52

negrita 7 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 9 negrita corchete izquierdo negrita 15 negrita dividido por estilo negrita paréntesis izquierdo 6 menos 1 paréntesis derecho fin estilo negrita menos estilo negrita paréntesis izquierdo 9 menos 3 paréntesis derecho fin estilo negrita dividido por negrita 2 negrita corchete derecho

Primero realizamos los paréntesis:

negrita 9 negrita corchete izquierdo negrita 15 negrita dividido por negrita paréntesis izquierdo negrita 6 negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 9 negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita dividido por negrita 2 negrita corchete derecho

6-1=5; 9 - 3 = 6;

luego realizamos las divisiones dentro de los corchetes:

negrita 9 negrita corchete izquierdo negrita 15 negrita dividido por negrita 5 negrita menos negrita 6 negrita dividido por negrita 2 negrita corchete derecho

15 ÷ 5 = 3; 6 ÷ 2 = 3;

continuamos con la resta dentro del corchete:

negrita 9 negrita corchete izquierdo negrita 3 negrita menos negrita 3 negrita corchete derecho negrita igual negrita 9 estilo negrita corchete izquierdo 0 corchete derecho fin estilo

finalizamos con la multiplicación: 9 x 0 = 0

Respuesta= 0.

estilo tamaño 16px negrita 8 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 100 negrita más negrita 8 negrita multiplicación en cruz negrita 3 elevado a negrita 2 negrita menos negrita 63 negrita dividido por estilo negrita paréntesis izquierdo 2 más 5 paréntesis derecho fin estilo fin estilo

Primero realizamos los paréntesis:

negrita 100 negrita más negrita 8 negrita multiplicación en cruz negrita 3 elevado a negrita 2 negrita menos negrita 63 negrita dividido por negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita más negrita 5 negrita paréntesis derecho

2 + 5 = 7;

Luego los exponentes: 3 2 = 9;

Luego las divisiones y multiplicaciones:

estilo tamaño 16px negrita 100 negrita más negrita 8 negrita multiplicación en cruz negrita 9 negrita menos negrita 63 negrita dividido por negrita 7 negrita 100 negrita más negrita 72 negrita menos negrita 9 fin estilo

Finalizamos con las sumas y restas:

negrita 100 negrita más negrita 72 negrita menos negrita 9 negrita igual negrita 163

Respuesta= 163.