Leyes de los exponentes

Ana Zita
Ana Zita
Doctora en Bioquímica

Las leyes de los exponentes son las reglas a seguir para realizar operaciones con potencias. La potencia de un número es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo más de una vez. Al número se le llama base, y las veces que se multiplica es el exponente, que se coloca en pequeño arriba y a la derecha de la base.

an = base exponente

1) Potencia con exponente cero y base diferente de cero

Todo número con exponente 0 (es decir, elevado a cero) es igual a 1.

Por ejemplo:

a0 = 1
20 = 1
150 = 1

2) Potencia con exponente igual a uno

Todo número con exponente 1 es igual a sí mismo. Ejemplos de ello serían los siguientes:

a1 = a
101 = 10
151 = 15

3) Producto de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes, como, por ejemplo:

a3 . a5 = (a . a . a)(a . a . a . a . a) = a3+5 = a8

Por ejemplo:

23. 23 = 23+3 = 26 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64
a15. a0 = a15+0 = a15
4b. 4c = 4b+c

4) División de potencias de igual base

Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes.

Por ejemplo:

a10 ÷ a3 = a10 - 3 = a7
b3 ÷ b4 = b3 - 4 = b -1 = 1 / b
x23 / x13 = x 23 - 13 = x10

Todo número con exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo, como mostramos a continuación:

exponente19

Otra forma de entender la división de potencias es eliminando términos comunes en el numerador y denominador, como, por ejemplo:

fracción normal a elevado a 5 entre normal a al cubo igual fracción numerador normal a multiplicación en cruz normal a multiplicación en cruz tachado diagonal hacia arriba normal a multiplicación en cruz tachado diagonal hacia arriba normal a multiplicación en cruz tachado diagonal hacia arriba normal a entre denominador tachado diagonal hacia arriba normal a multiplicación en cruz tachado diagonal hacia arriba normal a multiplicación en cruz tachado diagonal hacia arriba normal a fin fracción igual normal a multiplicación en cruz normal a igual normal a al cuadrado

5) Ley de la uniformidad

Si los dos miembros de una igualdad se elevan a la misma potencia, resulta otra igualdad.

Por ejemplo:

a = 3
⇒ a2 = 32 ⇒ a2 = 9
⇒ a3 = 33 ⇒ a3 = 27

6) Potencia de un producto

También se conoce como ley distributiva de la potenciación con respecto de la multiplicación. Esta ley establece que la multiplicación (a.b.c) elevada a la n (enésima potencia) es igual a cada uno de los factores elevado a esa potencia y luego multiplicado.

Por ejemplo:

estilo tamaño 16px estilo negrita paréntesis izquierdo a por b por c paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita n negrita igual negrita a elevado a negrita n negrita por negrita b elevado a negrita n negrita por negrita c elevado a negrita n fin estilo

Esto lo podemos demostrar de la siguiente manera:

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita por negrita b negrita por negrita c negrita paréntesis derecho elevado a negrita n negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita por negrita b negrita por negrita c negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita por negrita b negrita por negrita c negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita multiplicado negrita espacio negrita n negrita espacio negrita veces negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita por negrita a negrita por negrita a negrita por negrita a negrita por negrita por negrita por negrita n negrita espacio negrita veces negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita por negrita b negrita por negrita b negrita por negrita b negrita por negrita b negrita por negrita por negrita por negrita espacio negrita n negrita espacio negrita veces negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita c negrita por negrita c negrita por negrita c negrita por negrita c negrita por negrita por negrita por negrita espacio negrita n negrita espacio negrita veces negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita a elevado a negrita n negrita por negrita b elevado a negrita n negrita por negrita c elevado a negrita n

Por ejemplo:

(2 x 3 )3 = 23 x 33 = (2.2.2) (3.3.3) = 8 x 27 = 216
(3ab)2 = 32. a2 . b2 = 9 a2b2

7) Potencia de una fracción

También se conoce como ley distributiva de la potenciación respecto de la división exacta. Para elevar una fracción a una potencia, se elevan su numerador y denominador a dicha potencia de la siguiente forma:

exponente4

Por ejemplo:

exponente6

En el caso de una fracción mixta, se transforma el número a fracción:

exponente7

8) Potencia de una potencia

Si multiplicamos potencias de igual base e igual exponente tendremos una potencia de otra potencia:

am . am . am multiplicada n veces = (am)n = am . n

b3. b3 . b3= (b3)3 = b 3.x 3 = b9

Para resolver la potencia de una potencia, dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes:

(24)2 = 24 x 2 = 28 = 256

9) Ley de monotonía

Cuando los dos miembros de una desigualdad son mayores que cero y se elevan a una misma potencia diferente de cero, resulta una desigualdad del mismo sentido.

Por ejemplo:

5 > 3
⇒ 52 > 32 ⇒ 25 > 9
⇒ 53 > 33 ⇒ 125 > 27

Vea también Jerarquía de operaciones.

Ejercicios (con soluciones)

1. Escribir las siguientes expresiones en forma de potencia única:

estilo tamaño 16px normal a paréntesis derecho espacio 2 al cubo multiplicación en cruz 2 elevado a 5 fin estilo

Aplicamos el producto de potencias de igual base, colocamos la misma base y sumamos los exponentes:

estilo tamaño 16px 2 al cubo multiplicación en cruz 2 elevado a 5 igual 2 elevado a 3 más 5 fin elevado igual 2 elevado a 8 fin estilo

estilo tamaño 16px normal b paréntesis derecho espacio 5 al cuadrado multiplicación en cruz 5 elevado a 5 multiplicación en cruz 5 fin estilo

Aplicamos el producto de potencias de igual base, colocamos la misma base y sumamos los exponentes:

estilo tamaño 16px 5 al cuadrado multiplicación en cruz 5 elevado a 5 multiplicación en cruz 5 igual 5 elevado a 2 más 5 más 1 fin elevado igual 5 elevado a 8 fin estilo

estilo tamaño 16px normal c paréntesis derecho espacio 6 elevado a 4 dividido por 6 al cubo fin estilo

Aplicamos la división de potencias de igual base, colocamos la misma base y restamos los exponentes:

6 elevado a 4 dividido por 6 al cubo igual 6 elevado a 4 menos 3 fin elevado igual 6 elevado a 1 igual 6

estilo tamaño 16px normal d paréntesis derecho espacio abrir paréntesis 3 al cuadrado cerrar paréntesis elevado a 5 fin estilo

Aplicamos la potencia de una potencia, así que dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes:

estilo tamaño 16px abrir paréntesis 3 al cuadrado cerrar paréntesis elevado a 5 igual 3 elevado a 2 multiplicación en cruz 5 fin elevado igual 3 elevado a 10 fin estilo

estilo tamaño 16px normal e paréntesis derecho espacio abrir paréntesis fracción normal a al cubo entre normal b elevado a 6 cerrar paréntesis elevado a 4 fin estilo

Aquí aplicamos la potencia de una potencia a cada base por separado, ya que son diferentes. En este caso, dejamos las bases iguales y multiplicamos cada exponente de la base por el exponente 4:

estilo tamaño 16px abrir paréntesis fracción normal a al cubo entre normal b elevado a 6 cerrar paréntesis elevado a 4 igual abrir paréntesis fracción normal a elevado a 3 multiplicación en cruz 4 fin elevado entre normal b elevado a 6 multiplicación en cruz 4 fin elevado cerrar paréntesis igual fracción normal a elevado a 12 entre normal b elevado a 24 fin estilo

2. Hallar el valor de:

normal a paréntesis derecho espacio 8 multiplicación en cruz 5 elevado a 0 menos 5 elevado a 0

Aplicamos la ley de potencia con exponente cero y base diferente de cero, es decir, todo número elevado a la potencia de 0 es igual a 1:

estilo tamaño 16px 5 elevado a 0 igual 1 fin estilo

Sustituimos los términos elevados a la 0 por 1:

estilo tamaño 16px 8 multiplicación en cruz 1 menos 1 fin estilo

Ahora aplicamos la jerarquía de operaciones, multiplicamos primero 8 por 1, y luego a ese resultado le restamos 1:

estilo tamaño 16px 8 multiplicación en cruz 1 igual 8 8 menos 1 igual 7 fin estilo

estilo tamaño 16px normal b paréntesis derecho espacio normal a elevado a 0 multiplicación en cruz normal b elevado a 0 más normal c elevado a 0 más 4 normal d elevado a 0 fin estilo

Vamos a aplicar la ley de potencia con exponente 0, donde todo elemento elevado a la 0 es igual a 1:

estilo tamaño 16px normal a elevado a 0 multiplicación en cruz normal b elevado a 0 más normal c elevado a 0 más 4 normal d elevado a 0 igual 1 multiplicación en cruz 1 más 1 más 4 abrir paréntesis 1 cerrar paréntesis fin estilo

Ahora resolvemos la ecuación según su jerarquía, primero multiplicaciones y luego sumas:

estilo tamaño 16px 1 multiplicación en cruz 1 más 1 más 4 igual 1 más 1 más 4 igual 6 fin estilo

estilo tamaño 16px normal c paréntesis derecho espacio fracción 3 elevado a 4 entre 9 al cuadrado fin estilo

Vemos que hay dos bases diferentes, pero podemos transformar el 9 en una potencia de 3, de la siguiente forma:

estilo tamaño 16px 9 igual 3 multiplicación en cruz 3 igual 3 al cuadrado fin estilo

Ahora, podemos tener una división con bases iguales:

estilo tamaño 16px fracción 3 elevado a 4 entre abrir paréntesis 3 al cuadrado cerrar paréntesis al cuadrado fin estilo

Aplicamos en el denominador la ley de potencia de una potencia:

fracción 3 elevado a 4 entre abrir paréntesis 3 al cuadrado cerrar paréntesis al cuadrado igual fracción 3 elevado a 4 entre 3 elevado a 2 multiplicación en cruz 2 fin elevado igual fracción 3 elevado a 4 entre 3 elevado a 4

La división de dos términos iguales es igual a 1:

fracción 3 elevado a 4 entre 3 elevado a 4 igual 1

3. ¿Qué diferencia existe entre el cubo del doble de 2 y el doble del cubo de 2?

Decimos que un número elevado al cubo es cuando un número está elevado a la potencia 3. El cubo del doble de 2 es igual a multiplicar dos veces 2 elevado a la 3.

estilo tamaño 16px abrir paréntesis 2 al cuadrado cerrar paréntesis al cubo fin estilo

Aplicamos entonces la potencia de una potencia, dejando la base 2 y multiplicando los exponentes 2 y 3:

estilo tamaño 16px abrir paréntesis 2 al cuadrado cerrar paréntesis al cubo igual 2 elevado a 2 multiplicación en cruz 3 fin elevado igual 2 elevado a 6 fin estilo

Por otro lado, el doble del cubo de 2 sería elevar 2 a la potencia de 3, y luego multiplicarlo por 2:

estilo tamaño 16px abrir paréntesis 2 al cubo cerrar paréntesis multiplicación en cruz 2 fin estilo

En este caso, aplicamos el producto de potencias de igual base, colocamos la misma base y sumamos los exponentes:

estilo tamaño 16px abrir paréntesis 2 al cubo cerrar paréntesis multiplicación en cruz 2 igual 2 elevado a 3 más 1 fin elevado igual 2 elevado a 4 fin estilo

Podemos decir entonces que el cubo del doble de 2 es mayor al doble del cubo de 2:

estilo tamaño 16px 2 elevado a 6 mayor que 2 elevado a 4 fin estilo

Vea también: