Funciones trigonométricas

Ana Zita
Ana Zita
Científica

Las funciones trigonométricas son las funciones de un ángulo. Estas usualmente incluyen términos que describen la medición de ángulos y triángulos, tal como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Los ángulos en las funciones trigonométricas se expresan como radianes. Los radianes son el equivalente de los grados de los ángulos en función del radio de la circunferencia.

Definición de las funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo

funciones trigonometricas
El triángulo rectángulo es la base de las funciones trigonométricas.

Un triángulo rectángulo es un polígono de tres lados, con un ángulo recto (igual a 90º). Los lados que delimitan el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto de mayor longitud es la hipotenusa.

Las funciones o razones trigonométricas son las relaciones entre los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Tenemos entonces que para cualquier ángulo agudo del triángulo rectángulo:

  • el seno (se abrevia sen) es la razón o la división de la longitud del cateto opuesto (CO) entre la longitud de la hipotenusa (H);
  • el coseno (se abrevia cos) es la razón entre la longitud del cateto adyacente (CA) entre la longitud de la hipotenusa (H),
  • la tangente (se abrevia tan) es la razón entre la longitud del CO entre el CA, esto es igual a la división del seno entre el coseno,
  • la cotangente (se abrevia cot) es la razón entre el CA y el CO,
  • la secante (se abrevia sec) es la razón entre la hipotenusa y el CA, y
  • la cosecante (se abrevia csc) es la razón entre la hipotenusa y el CO.

Por ejemplo, para el triángulo rectángulo en la imagen, tenemos las siguientes razones trigonométricas:

Ángulo αÁngulo β
Cateto opuesto (CO)ba
Cateto adyacente (CA)ab
Hipotenusa (H)cc
SenoCO/H=b/cCO/H=a/c
CosenoCA/H=a/cCA/H=b/c
TangenteCO/CA=b/aCO/CA=a/b
CotangenteCA/CO=a/bCA/CO=b/a
SecanteH/CA=c/aH/CA=c/b
CosecanteH/CO=c/bH/CO=c/a

Ejemplo

Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm y la hipotenusa mide 5 cm, las funciones trigonométricas de cada ángulo agudo seran:

Ángulo αÁngulo β
Cateto opuesto (CO)3 cm4 cm
Cateto adyacente (CA)4 cm3 cm
Hipotenusa (H)5 cm5 cm

Seno

CO/H=3/5CO/H=4/5
CosenoCA/H=4/5CA/H=3/5
TangenteCO/CA=3/4CO/CA=4/3
CotangenteCA/CO=4/3CA/CO=3/4
SecanteH/CA=5/4H/CA=5/3
CosecanteH/CO=5/3H/CO=5/4

Funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico

El círculo trigonométrico es aquel cuyo radio vale la unidad. Al trazar dos ejes perpendiculares entre sí que pasan por el origen del círculo, tendremos un sistema de ejes coordenados XY. Para calcular las diferentes funciones trigonométricas, nos valdremos de estos ejes.

Función seno

funcion seno
El seno de un ángulo en el círculo trigonométrico es igual a su medida en el eje de las ordenadas.

En un ángulo interno en el círculo trigonométrico cuyos segmentos son igual al radio 1, el seno será la proyección del segmento móvil sobre el eje de las ordenadas Y. Imaginemos una linterna iluminando este segmento móvil dentro del círculo. La sombra que proyecta el segmento sobre el eje Y será el valor del seno.

Cuando se grafica el seno a medida que el segmento se abre, el seno crece hasta ser igual a 1, cuando el ángulo es igual a 90º o 1/2π. Desde los 90º a los 180º el seno se reduce pero sigue siendo positivo. Por encima de los 180º el seno toma valores negativos hasta llegar a los 360º. Los valores del seno se hallan entre 1 y -1.

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Función coseno

función coseno trigonometria
El coseno de un ángulo en el círculo trigonométrico es igual a su medida en el eje de las abscisas.

En un ángulo interno en el círculo trigonométrico cuyos segmentos son igual al radio 1, el coseno será la proyección del segmento móvil sobre el eje de las abscisas X. Imaginemos una linterna iluminando este segmento móvil dentro del círculo. La sombra que proyecta el segmento sobre el eje X será el valor del coseno.

Cuando se grafica el coseno a medida que el segmento se abre, el coseno se reduce hasta ser igual a 0 cuando el ángulo es igual a 90º o 1/2π. Desde los 90º a los 270º el coseno toma valores negativos. Por encima de los 270º el coseno vuelve a tomar valores positivos hasta llegar a 1 en los 360º. Los valores del coseno se hallan entre 1 y -1.

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Función tangente

funcion trigonometrica tangente
La tangente es la relación entre el seno y el coseno.

En un ángulo interno en el círculo trigonométrico cuyos segmentos son igual al radio 1, la tangente será la extensión del segmento móvil sobre el eje de las ordenadas Y. Imaginemos una pared pegada del círculo y el segmento móvil se estira hasta tocar la pared. La distancia desde la base de la pared hasta donde el segmento toca la misma será el valor de la tangente.

Cuando se grafica la tangente a medida que el segmento se abre, esta crece hasta valores en el infinito ∞ cuando el ángulo es igual a 90º o 1/2π. Desde los 90º a los 180º toma valores negativos. Por encima de los 180º la tangente vuelve a tomar valores positivos hasta 270º. A partir de 270º vuelve a tomar valores negativos hasta llegar a 0 en los 360º. Los valores la tangente se hallan entre ∞ y -∞.

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Características de las funciones trigonométricas

Cuando vemos un gráfico de una función donde se repiten las formas decimos que son periódicas. Las funciones trigonométricas son periódicas. La periodicidad puede verse en un electrocardiograma.

"Las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales, en valor absoluto y en signo, a las cofunciones del ángulo complementario por defecto."

Por ejemplo:

negrita sen negrita espacio negrita 60 negrita grados negrita igual negrita cos negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita 90 negrita grados negrita menos negrita 60 negrita grados negrita paréntesis derecho negrita igual negrita cos negrita espacio negrita 30 negrita grados negrita igual fracción numerador raíz cuadrada de negrita 3 entre denominador negrita 2 fin fracción

negrita tan negrita espacio negrita 70 negrita grados negrita igual negrita cot negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita 90 negrita grados negrita menos negrita 70 negrita grados negrita paréntesis derecho negrita igual negrita cot negrita espacio negrita 20 negrita grados

"Las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales en valor absoluto a las funciones del ángulo explementario, pero de signo contrario excepto el coseno y la secante que son del mismo signo".

Por ejemplo:

negrita sen negrita espacio negrita 315 negrita grados negrita igual negrita espacio negrita sen negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita 360 negrita grados negrita espacio negrita menos negrita espacio negrita 45 negrita grados negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita menos negrita sen negrita espacio negrita 45 negrita grados

negrita cos negrita espacio negrita 300 negrita grados negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita cos negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita 360 negrita grados negrita menos negrita 60 negrita grados negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita cos negrita espacio negrita 60 negrita grados negrita igual fracción negrita 1 entre negrita 2

"Las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales en valor absoluto a las funciones trigonométricas del ángulo suplementario por defecto, pero de signo contrario, con excepción del seno y de la cosecante que son del mismo signo".

Por ejemplo:

negrita sen negrita espacio negrita 120 negrita grados negrita igual negrita sen negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita 180 negrita grados negrita menos negrita 60 negrita grados negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita sen negrita espacio negrita 60 negrita grados negrita igual negrita espacio fracción numerador raíz cuadrada de negrita 3 entre denominador negrita 2 fin fracción

negrita cot negrita espacio negrita 120 negrita grados negrita igual negrita cot negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita 180 negrita grados negrita menos negrita 60 negrita grados negrita paréntesis derecho negrita igual negrita espacio negrita menos negrita cot negrita espacio negrita 60 negrita grados negrita igual negrita menos fracción numerador raíz cuadrada de negrita 3 entre denominador negrita 3 fin fracción


Resumen de los valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables

Función30º45º60º90º180º270º360º
Senonegrita 0fracción negrita 1 entre negrita 2fracción numerador raíz cuadrada de negrita 2 entre denominador negrita 2 fin fracciónfracción numerador raíz cuadrada de negrita 3 entre denominador negrita 2 fin fracciónnegrita 1negrita 0negrita menos negrita 1negrita 0
Cosenonegrita 1fracción numerador raíz cuadrada de negrita 3 entre denominador negrita 2 fin fracciónfracción numerador raíz cuadrada de negrita 2 entre denominador negrita 2 fin fracciónfracción negrita 1 entre negrita 2negrita 0negrita menos negrita 1negrita 0negrita 1
Tangentenegrita 0fracción numerador raíz cuadrada de negrita 3 entre denominador negrita 3 fin fracciónnegrita 1raíz cuadrada de negrita 3negrita infinitonegrita 0negrita infinitonegrita 0
Cotangenteinfinitoraíz cuadrada de negrita 3negrita 1fracción numerador raíz cuadrada de negrita 3 entre denominador negrita 3 fin fracciónnegrita 0negrita infinitonegrita 0negrita infinito
Secantenegrita 1fracción numerador negrita 2 raíz cuadrada de negrita 3 entre denominador negrita 3 fin fracciónraíz cuadrada de negrita 2negrita 2negrita infinitonegrita menos negrita 1infinitonegrita 1
Cosecanteinfinitonegrita 2raíz cuadrada de negrita 2fracción numerador negrita 2 raíz cuadrada de negrita 3 entre denominador negrita 3 fin fracciónnegrita 1infinitonegrita menos negrita 1itálica infinito
Nota: la cotangente y la cosecante de 0º no existen porque no se puede dividir entre cero, al igual que la tangente y secante de 90º.

Ejemplos de funciones trigonométricas

En la naturaleza encontramos diferentes manifestaciones que pueden ser analizados por medio de funciones trigonométricas.

Horas de luminosidad en las zonas templadas

ejemplo de funcion de seno
Las horas de luz durante el año siguen una función sinusoidal.

Entre el trópico de Cáncer y el circulo polar ártico en el hemisferio norte, y el trópico de Capricornio y el círculo polar antártico en el hemisferio sur, encontramos un patrón de iluminación solar característico. Esto lo vemos reflejado en las estaciones, con menor cantidad de luz solar en invierno y mayor cantidad de luz en los meses de verano.

Este patrón de iluminación natural sigue una función sinusoidal a lo largo del año.

Reciprocidad de las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas poseen funciones recíprocas en el mismo ángulo. Estas son:

Función trigonométricaFunción recíproca
SenoCosecante
CosenoSecante
TangenteCotangente

Vea también¿Qué son las matemáticas?

Ana Zita
Ana Zita
Doctorado en bioquímica del Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas con licenciatura en bioanálisis de la Universidad Central de Venezuela. Investigadora con más de diez años de experiencia en instituciones científicas en Venezuela y Australia. Actualmente divide la redacción de contenidos educativos con la agricultura científica.