Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo. Este establece que el área de un cuadrado con el lado más largo del triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados formados con los otros dos lados del triángulo.

Un triángulo rectángulo es aquel polígono de tres lados que tiene un ángulo de 90º, también conocido como ángulo recto. Los catetos son los lados que forman el angulo recto y la hipotenusa es el lado más largo del triángulo frente al ángulo recto.

A partir de la longitud de los catetos y la hipotenusa, el teorema de Pitágoras se expresa como la suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado.

Fórmulas del teorema de Pitágoras

teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que la suma de los catetos al cuadrado es igual al cuadrado de la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras se expresa de forma algebraica por la ecuación:

estilo tamaño 16px negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita b elevado a negrita 2 negrita igual negrita c elevado a negrita 2 fin estilo

donde a y b son los catetos del triángulo y c es la hipotenusa. Cuando conocemos los valores de los catetos, podemos calcular la longitud de la hipotenusa por la fórmula:

estilo tamaño 16px negrita c negrita igual raíz cuadrada de negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita b elevado a negrita 2 fin raíz fin estilo

Si conocemos el valor de la hipotenusa y de uno de los catetos, podemos calcular el otro cateto con la siguiente fórmula:

estilo tamaño 16px negrita a negrita igual raíz cuadrada de negrita c elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 2 fin raíz fin estilo

Ejemplos de teorema de Pitágoras

aplicaciones del teorema de Pitágoras

Una de los ejemplos del teorema de Pitágoras es el cálculo de distancias entre dos puntos, siempre y cuando exista un triángulo rectángulo en sus límites.

Por ejemplo, si tenemos una pared de 2,70 m y queremos poner una escalera desde el tope de la pared, con una separación de 70 cm a nivel de piso, podemos calcular la longitud de la escalera de la siguiente manera:

  • Se establece un ángulo recto entre la pared y el piso;
  • La altura de la pared (2,7 m) y la separación entre la pared y la escalera a nivel del piso (70 cm) son los catetos; y
  • La escalera representa la hipotenusa.

Usamos la fórmula:

estilo tamaño 16px negrita c negrita igual raíz cuadrada de negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita b elevado a negrita 2 fin raíz fin estilo

donde c es la hipotenusa (la medida de la escalera), a y b son los catetos:

estilo tamaño 16px negrita c negrita igual raíz cuadrada de estilo negrita paréntesis izquierdo 270 espacio cm paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 negrita más estilo negrita paréntesis izquierdo 70 espacio cm paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual negrita 279 negrita espacio negrita cm fin estilo

Así, la escalera debe ser de al menos 279 cm para llegar al tope de la pared.

Instalando la TV

El tamaño de los aparatos de TV se expresa como la distancia diagonal de la pantalla, es decir, una televisión de 50 pulgadas tiene una diagonal de 127 cm. Si sabemos la altura, podemos calcular el ancho del aparato:

estilo tamaño 16px negrita ancho negrita espacio negrita de negrita espacio negrita TV negrita igual raíz cuadrada de estilo negrita paréntesis izquierdo diagonal espacio de espacio TV paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 negrita menos estilo negrita paréntesis izquierdo altura espacio de espacio TV paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 fin raíz fin estilo

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Física

En física es clave el uso del teorema de Pitágoras en diferentes cálculos. Por ejemplo, si se quiere calcular la velocidad relativa a la tierra de un avión que vuela hacia el norte con una velocidad de 240 km/h pero con un viento que sopla a 100 km/h hacia el este.

Arquitectura y construcción

En arquitectura, carpintería y otras áreas de la construcción, el teorema de Pitágoras es ampliamente utilizado. Por ejemplo, si se conoce la altura de un techo y la distancia que tiene que cubrir, se usa el teorema de Pitágoras para cortar las vigas diagonales.

También se usa para asegurar que en las construcciones se forman ángulos rectos en las esquinas; al medir los lados del triángulo, si estos coinciden con el teorema de Pitágoras, tendremos la seguridad que hay un ángulo recto.

Navegación

En navegación, se usa el teorema de Pitágoras para buscar la distancia más corta entre dos puntos cardinales. Por ejemplo, si se tiene que ir un punto que está a 3000 m al norte y 5000 m al este, la distancia diagonal será la hipotenusa:

estilo tamaño 16px negrita c negrita igual raíz cuadrada de estilo negrita paréntesis izquierdo 3000 espacio m paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 negrita más estilo negrita paréntesis izquierdo 5000 espacio m paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual negrita 5831 negrita espacio negrita m fin estilo

Vea también Ecuaciones cuadráticas de segundo grado.

Problemas y ejercicios de teorema de Pitágoras

1) Calcula el lado desconocido correspondiente a cada triángulo:

ejercicios de teorema de Pitágoras

a)14,14 cm; b) 11,66 cm; c) 9,79 cm; d) 9,43 cm; e) 6,6 cm f) 11,5 cm; g) 44,72 cm.

2) Se quiere instalar un cable desde un poste de electricidad de 10 m de alto hasta una casa de 3 m de alto. ¿Cuánto se necesita de cable?

Problema de teorema de Pitágoras

Respuesta: se necesitan al menos 9,90 m de cable entre el poste y la casa.