Vector es la palabra para definir una cantidad que posee magnitud y dirección. Los vectores se definen como representaciones geométricas con magnitud y dirección y se muestran por flechas.
Notación del vector
El vector se designa por dos letras mayúsculas con una flecha por encima. La primera letra es el origen y la segunda es el extremo del vector. Por ejemplo, el vector con origen en A y fin en B es:
También pueden expresarse con una simple letra y la flecha por encima:
Gráficamente, el vector se dibuja como una flecha que empieza en un punto en el eje de coordenadas y terminan en un punto diferente. La flecha se llama vector geométrico.
Un vector unidad es el vector de longitud igual a uno, un vector unidad en la dirección A se escribe con el símbolo ^ sobre la letra y se lee: A sombrero.
Diferencia entre vector y escalar
Un escalar es una cantidad física representada por un número sin dirección. Ejemplos de escalares son la altura, la masa, el área, la temperatura y el volumen. La longitud entre dos puntos es una cantidad sin dirección, por lo tanto es un escalar.
Un vector es una cantidad física que tiene tanto magnitud como dirección. Ejemplos de vectores incluyen el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. La longitud entre un punto inicial y un punto final en determinada dirección es un vector.
Relación entre vector y escalar
La magnitud de un vector es un escalar. Lo podemos ejemplificar de la siguiente forma: si movemos una roca 5 metros, la distancia del movimiento es una magnitud escalar (5 m). Ahora si movemos la roca 5 metros a la derecha, el desplazamiento es una magnitud vectorial igual a 5 metros a la derecha.
Características de los vectores
Todos los vectores tienen longitud, dirección y punto de aplicación.
Magnitud de un vector
La longitud del vector se llama norma, módulo o magnitud. Para el módulo del vector
se emplea la notación:
.
La magnitud del vector es un escalar, es decir, no tiene dirección.
Dirección de un vector
A cada vector no nulo le corresponde una dirección dada por la medida del ángulo que forma el vector con el eje positivo de las x.
Punto de aplicación
Es el origen del vector.
Tipo de vectores
Vector nulo
El vector cuyo origen y extremo coinciden se llama nulo. El módulo del vector nulo es igual a cero.
Vector colineal
Los vectores situados en una recta o en rectas paralelas se llaman colineales.
Vectores iguales o equivalentes
Los vectores se llaman iguales si son colineales, tienen una misma longitud y una misma dirección. Cuando los vectores tienen la misma dirección se dice que son paralelos. Si dos vectores tienen direcciones opuestas decimos que son antiparalelos.
Vector de posición
Todo vector que tiene posición ordinaria, es decir, el vector que tiene su punto inicial en el origen.
Vector unidad o unitario
Un vector unidad es el vector de longitud igual a uno. Un vector unidad en la dirección A se escribe con el símbolo ^ sobre la letra y se lee: A sombrero.
Suma de vectores
Asi como podemos sumar dos números, también los vectores se pueden sumar. Al sumar dos vectores obtenemos otro vector: el vector resultante. La suma de los vectores puede hacerse gráfica y matemáticamente.
Gráficamente sumamos los vectores de la siguiente forma: colocamos las flechas juntas tal que el final de un vector toca el origen del segundo vector. El vector resultante será un vector que va desde el origen del primer vector hasta el final del segundo vector. El orden de los vectores en la suma no importa ya que sigue la ley conmutativa. Esto es, A+B=B+A.
Cuando tenemos los componentes en x y y de los vectores, sumamos respectivamente cada componente:
Ejemplo de suma de vectores
Un ciclista de montaña viaja 3 km al norte y luego 5 km al este. ¿A qué distancia está con respecto al punto de partida?
Para determinar el desplazamiento del ciclista desde el punto de partida nos valemos de la suma de los dos vectores. La distancia será la magnitud del vector resultante. En este caso, aplicamos teorema de Pitágoras:
El ciclista se encuentra a 5,83 km del punto de partida.
Hay que hacer notar que la suma de vectores no es igual a la suma de las magnitudes de los vectores. Como en el caso anterior, la magnitud del vector resultante (5,83 km) no es igual a la suma de las magnitudes de los vectores hacia el norte y hacia el este (3km + 5km= 8km).
Sustracción de vectores
Podemos restar dos vectores de forma gráfica y matemática. Matemáticamente, el vector A menos el vector B es igual a la suma del vector A y el vector inverso de B:
Gráficamente, transformamos uno de los vectores en su vector inverso, y luego los sumamos normalmente: colocamos las flechas juntas tal que el final de un vector toca el origen del segundo vector. El vector resultante será un vector que va desde el origen del primer vector hasta el final del segundo vector.
Producto escalar de vectores
El producto escalar de dos vectores se denota de la siguiente forma:
Para definir el producto escalar de forma gráfica seguimos los siguientes pasos:
El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser negativo, positivo o cero. El producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre es cero.
Cálculo del producto escalar usando los componentes
El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus respectivos componentes:
Producto vectorial de dos vectores
El producto vectorial de dos vectores, también llamado producto cruz, se denota de la siguiente forma:
El producto vectorial es un vector. Para obtener el producto vectorial se dibujan los dos vectores cola con cola sobre el mismo plano. Medimos el ángulo entre los dos vectores y entonces:
La magnitud del producto vectorial es igual:
El producto vectorial de los vectores paralelos o antiparalelos siempre es cero. El producto vectorial de un vector consigo mismo es cero.
Componentes de un vector
Los vectores se pueden descomponer en sus componentes vertical y horizontal. Esto es, cuando el vector está representado en el sistema de ejes cartesianos, el componente en x es la medida del vector en el eje de las abcisas x, y el componente en y la medida en el eje de las ordenadas y.
Los componentes de un vector no son vectores. Podemos calcular los componentes del vector si conocemos su magnitud y su dirección. A su vez, podemos calcular la magnitud del vector si conocemos sus componentes en x y y, por medio del teorema de Pitágoras:
Vea también Plano cartesiano.
Aplicaciones de los vectores en física
Los vectores pueden ser usados para representar cantidades físicas. Comúnmente en física, los vectores se usan para representar el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. Los vectores son una combinación de magnitud y dirección, y se dibujan como flechas. La longitud representa la magnitud y la dirección de esa cantidad es la dirección a la cual está apuntando el vector.
Los vectores aparecieron al final del siglo XIX para expresar las leyes de electromagnetismo. Su uso es esencial en física, mecánica, ingeniería y otras ciencias para describir matemáticamente las fuerzas.
Ejercicios de vectores con soluciones
En una competencia de orientación, se les informó a los participantes que debían caminar 2 km 30º al este y luego 3 km 30º al oeste, el primero en llegar se lleva el premio. Uno de los participantes, conociendo sobre vectores, calculó el punto final. ¿Cómo lo hizo?
Respuesta
Sabiendo que cada uno de los recorridos puede ser representado por un vector, el vector resultante es la suma de los vectores. Calculamos cada uno de los componentes de los vectores.
Con los componentes en x y y de los vectores conocidos, podemos calcular los componentes del vector resultante:
Con los componentes del vector resultante, calculamos la magnitud:
Para calcular la dirección, buscamos el ángulo por medio de los componentes de R:
