Vectores

Vector es la palabra para definir una cantidad que posee magnitud y dirección. Los vectores se definen como representaciones geométricas con magnitud y dirección y se muestran por flechas.

Notación del vector

El vector se designa por dos letras mayúsculas con una flecha por encima. La primera letra es el origen y la segunda es el extremo del vector. Por ejemplo, el vector con origen en A y fin en B es:

negrita AB con negrita flecha derecha encima

También pueden expresarse con una simple letra y la flecha por encima:

negrita A con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima

Gráficamente, el vector se dibuja como una flecha que empieza en un punto en el eje de coordenadas y terminan en un punto diferente. La flecha se llama vector geométrico.

Un vector unidad es el vector de longitud igual a uno, un vector unidad en la dirección A se escribe con el símbolo ^ sobre la letra y se lee: A sombrero.

Diferencia entre vector y escalar

Un escalar es una cantidad física representada por un número sin dirección. Ejemplos de escalares son la altura, la masa, el área, la temperatura y el volumen. La longitud entre dos puntos es una cantidad sin dirección, por lo tanto es un escalar.

Un vector es una cantidad física que tiene tanto magnitud como dirección. Ejemplos de vectores incluyen el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. La longitud entre un punto inicial y un punto final en determinada dirección es un vector.

Relación entre vector y escalar

La magnitud de un vector es un escalar. Lo podemos ejemplificar de la siguiente forma: si movemos una roca 5 metros, la distancia del movimiento es una magnitud escalar (5 m). Ahora si movemos la roca 5 metros a la derecha, el desplazamiento es una magnitud vectorial igual a 5 metros a la derecha.

Características de los vectores

Todos los vectores tienen longitud, dirección y punto de aplicación.

Magnitud de un vector

La longitud del vector se llama norma, módulo o magnitud. Para el módulo del vector

negrita a con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima

se emplea la notación:

abrir barra vertical negrita a con negrita flecha derecha encima cerrar barra vertical .

La magnitud del vector es un escalar, es decir, no tiene dirección.

Dirección de un vector

A cada vector no nulo le corresponde una dirección dada por la medida del ángulo que forma el vector con el eje positivo de las x.

Punto de aplicación

Es el origen del vector.

Tipo de vectores

vectores iguales
Vectores iguales y desiguales sobre un plano.

Vector nulo

El vector cuyo origen y extremo coinciden se llama nulo. El módulo del vector nulo es igual a cero.

Vector colineal

Los vectores situados en una recta o en rectas paralelas se llaman colineales.

Vectores iguales o equivalentes

Los vectores se llaman iguales si son colineales, tienen una misma longitud y una misma dirección. Cuando los vectores tienen la misma dirección se dice que son paralelos. Si dos vectores tienen direcciones opuestas decimos que son antiparalelos.

Vector de posición

Todo vector que tiene posición ordinaria, es decir, el vector que tiene su punto inicial en el origen.

Vector unidad o unitario

Un vector unidad es el vector de longitud igual a uno. Un vector unidad en la dirección A se escribe con el símbolo ^ sobre la letra y se lee: A sombrero.

Suma de vectores

suma de vectores
Suma de los vectores de forma gráfica y demostración de la ley del paralelogramo.

Asi como podemos sumar dos números, también los vectores se pueden sumar. Al sumar dos vectores obtenemos otro vector: el vector resultante. La suma de los vectores puede hacerse gráfica y matemáticamente.

Gráficamente sumamos los vectores de la siguiente forma: colocamos las flechas juntas tal que el final de un vector toca el origen del segundo vector. El vector resultante será un vector que va desde el origen del primer vector hasta el final del segundo vector. El orden de los vectores en la suma no importa ya que sigue la ley conmutativa. Esto es, A+B=B+A.

Cuando tenemos los componentes en x y y de los vectores, sumamos respectivamente cada componente:

negrita A con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita coma negrita 4 negrita paréntesis derecho negrita coma negrita espacio negrita B con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita coma negrita 3 negrita paréntesis derecho pila negrita A negrita más negrita B con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita más negrita 5 negrita coma negrita espacio negrita 4 negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 7 negrita coma negrita 7 negrita paréntesis derecho

Ejemplo de suma de vectores

ejemplo suma de vectores

Un ciclista de montaña viaja 3 km al norte y luego 5 km al este. ¿A qué distancia está con respecto al punto de partida?

Para determinar el desplazamiento del ciclista desde el punto de partida nos valemos de la suma de los dos vectores. La distancia será la magnitud del vector resultante. En este caso, aplicamos teorema de Pitágoras:

negrita Desplazamiento negrita igual raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita km negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita espacio negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita km negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual negrita 5 negrita coma negrita 83 negrita km

El ciclista se encuentra a 5,83 km del punto de partida.

Hay que hacer notar que la suma de vectores no es igual a la suma de las magnitudes de los vectores. Como en el caso anterior, la magnitud del vector resultante (5,83 km) no es igual a la suma de las magnitudes de los vectores hacia el norte y hacia el este (3km + 5km= 8km).

Sustracción de vectores

resta de vectores

Podemos restar dos vectores de forma gráfica y matemática. Matemáticamente, el vector A menos el vector B es igual a la suma del vector A y el vector inverso de B:

negrita A con arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima igual paréntesis izquierdo negrita x subíndice negrita 1 negrita coma negrita espacio negrita y subíndice negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita coma negrita espacio negrita B con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x subíndice negrita 2 negrita coma negrita espacio negrita y subíndice negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita A con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita menos negrita B con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x subíndice negrita 1 negrita coma negrita espacio negrita y subíndice negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita x subíndice negrita 2 negrita coma negrita espacio negrita menos negrita y subíndice negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x subíndice negrita 1 negrita menos negrita x subíndice negrita 2 negrita coma negrita espacio negrita y subíndice negrita 1 negrita espacio negrita menos negrita y subíndice negrita 2 negrita paréntesis derecho

Gráficamente, transformamos uno de los vectores en su vector inverso, y luego los sumamos normalmente: colocamos las flechas juntas tal que el final de un vector toca el origen del segundo vector. El vector resultante será un vector que va desde el origen del primer vector hasta el final del segundo vector.

Producto escalar de vectores

El producto escalar de dos vectores se denota de la siguiente forma:

negrita A con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita por negrita B con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita ABcosθ negrita igual abrir barra vertical negrita A con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima cerrar barra vertical abrir barra vertical negrita B con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima cerrar barra vertical negrita cosθ

Para definir el producto escalar de forma gráfica seguimos los siguientes pasos:

producto escalar de vectores

El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser negativo, positivo o cero. El producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre es cero.

Cálculo del producto escalar usando los componentes

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus respectivos componentes:

negrita A con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita por negrita B con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita A subíndice negrita x negrita B subíndice negrita x negrita más negrita A subíndice negrita y negrita B subíndice negrita y

Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores, también llamado producto cruz, se denota de la siguiente forma:

negrita A con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita multiplicación en cruz negrita B con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima

El producto vectorial es un vector. Para obtener el producto vectorial se dibujan los dos vectores cola con cola sobre el mismo plano. Medimos el ángulo entre los dos vectores y entonces:

negrita C con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita A con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita multiplicación en cruz negrita B con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima

La magnitud del producto vectorial es igual:

negrita C negrita igual negrita AB negrita espacio negrita senθ

El producto vectorial de los vectores paralelos o antiparalelos siempre es cero. El producto vectorial de un vector consigo mismo es cero.

Componentes de un vector

componentes de un vector
Los componentes del vector u son ux y uy.

Los vectores se pueden descomponer en sus componentes vertical y horizontal. Esto es, cuando el vector está representado en el sistema de ejes cartesianos, el componente en x es la medida del vector en el eje de las abcisas x, y el componente en y la medida en el eje de las ordenadas y.

Los componentes de un vector no son vectores. Podemos calcular los componentes del vector si conocemos su magnitud y su dirección. A su vez, podemos calcular la magnitud del vector si conocemos sus componentes en x y y, por medio del teorema de Pitágoras:

abrir barra vertical negrita u con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima cerrar barra vertical negrita igual raíz cuadrada de negrita u subíndice negrita x superíndice negrita 2 negrita más negrita u subíndice negrita y superíndice negrita 2 fin raíz

Aplicaciones de los vectores en física

Los vectores pueden ser usados para representar cantidades físicas. Comúnmente en física, los vectores se usan para representar el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. Los vectores son una combinación de magnitud y dirección, y se dibujan como flechas. La longitud representa la magnitud y la dirección de esa cantidad es la dirección a la cual está apuntando el vector.

Los vectores aparecieron al final del siglo XIX para expresar las leyes de electromagnetismo. Su uso es esencial en física, mecánica, ingeniería y otras ciencias para describir matemáticamente las fuerzas.

Ejercicios de vectores con soluciones

En una competencia de orientación, se les informó a los participantes que debían caminar 2 km 30º al este y luego 3 km 30º al oeste, el primero en llegar se lleva el premio. Uno de los participantes, conociendo sobre vectores, calculó el punto final. ¿Cómo lo hizo?

Respuesta

respuesta vectores

Sabiendo que cada uno de los recorridos puede ser representado por un vector, el vector resultante es la suma de los vectores. Calculamos cada uno de los componentes de los vectores.

negrita A subíndice negrita x negrita igual negrita Acos abrir paréntesis negrita 30 negrita grados cerrar paréntesis negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita km negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 0 negrita coma negrita 86 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 1 negrita coma negrita 73 negrita km negrita A subíndice negrita y negrita igual negrita Asen abrir paréntesis negrita 30 negrita grados cerrar paréntesis negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita km negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 0 negrita coma negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 1 negrita km negrita B subíndice negrita x negrita igual negrita Bcos negrita paréntesis izquierdo negrita 150 negrita grados negrita paréntesis derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita km negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 0 negrita coma negrita 86 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita menos negrita 2 negrita coma negrita 59 negrita km negrita B subíndice negrita y negrita igual negrita Bsen negrita paréntesis izquierdo negrita 150 negrita grados negrita paréntesis derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita km negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 0 negrita coma negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 1 negrita coma negrita 5 negrita km

Con los componentes en x y y de los vectores conocidos, podemos calcular los componentes del vector resultante:

negrita R con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita igual negrita A con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita más negrita B con negrita arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima negrita R subíndice negrita x negrita igual negrita A subíndice negrita x negrita más negrita B subíndice negrita x negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita coma negrita 73 negrita km negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 2 negrita coma negrita 59 negrita km negrita paréntesis derecho negrita igual negrita menos negrita 0 negrita coma negrita 86 negrita km negrita R subíndice negrita y negrita igual negrita A subíndice negrita y negrita más negrita B subíndice negrita y negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita km negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita. negrita 5 negrita km negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 2 negrita coma negrita 5 negrita km

Con los componentes del vector resultante, calculamos la magnitud:

negrita R negrita igual raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 0 negrita coma negrita 86 negrita km negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita coma negrita 5 negrita km negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual negrita 2 negrita coma negrita 64 negrita km

Para calcular la dirección, buscamos el ángulo por medio de los componentes de R:

negrita theta negrita igual negrita arctan fracción numerador negrita 2 negrita coma negrita 5 negrita km entre denominador negrita menos negrita 0 negrita coma negrita 86 fin fracción negrita igual negrita menos negrita 70 negrita coma negrita 97 negrita grados