El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Ejercicios para aplicar el teorema de Pitágoras
1) Si a y b son los catetos y c es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, calcule el lado que falta:
b = 5 cm, c = 10 cm, a = ?
De la fórmula del teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2, despejamos el cateto a:
Sustituimos los valores de b y c y calculamos a:
2) Si a y b son los catetos y c es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, calcule el lado que falta:
a = 12 m, b = 20 m, c = ?
De la fórmula del teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2, despejamos la hipotenusa c:
Sustituimos los valores de a y b y calculamos c:
3) Si a y b son los catetos y c es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, calcule el lado que falta:
a = 60 km, c = 100, b =?
4) Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que el valor del cateto es a = 5 m.
Sabemos que un triángulo isósceles es un triángulo con dos lados y dos ángulos iguales. Los dos catetos tienen la misma longitud. Entonces, para calcular la hipotenusa, simplemente aplicamos la fórmula:
5) Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que el valor del cateto a = 15 cm.
6) Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que el valor del cateto a = 95 cm.
7) Hallar la altura (h) de un triángulo equilátero sabiendo que el lado = 12 cm.
Un triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales y tres ángulos agudos. Sin embargo, la altura corresponde a un cateto común de dos triángulos rectángulos internos, como se muestra en la figura:
Sabiendo la longitud de un lado del triángulo, podemos calcular la altura. Esta es uno de los catetos mientras que el otro cateto es la mitad de la longitud de la hipotenusa. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:
8) Hallar la altura (h) de un triángulo equilátero sabiendo que el lado = 10 m.
Como en el caso anterior, aplicamos el teorema de Pitágoras, donde la hipotenusa ahora tiene un valor de 10 cm y uno de los catetos es 5 cm:
9) Hallar la altura (h) de un triángulo equilátero sabiendo que el lado = 25 m.
10) Hallar el área (A) de un triángulo equilátero sabiendo que la longitud de los lados = 10 m.
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base (b) por la altura (h):
La medida de la base de un triángulo equilátero es igual a la medida de sus lados; la altura del triángulo equilátero se calcula a partir del teorema de Pitágoras:
Teniendo la altura y la base, podemos calcular el área:
11) Hallar el área (A) de un triángulo rectángulo
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base (b) por la altura (h). En este caso, el cateto desconocido es la b y el cateto conocido es la h. Tenemos que calcular el cateto desconocido aplicando el teorema de Pitágoras:
El área de este triángulo es:
Problemas sobre el teorema de Pitágoras
1) ¿Cuál debe ser la longitud de una escalera para llegar a una ventana a 3 metros del piso y que la escalera esté separada de la pared por 1,5 metros?
Entre el piso y la pared existe un ángulo recto, por lo que la longitud de la escalera será la hipotenusa. La separación entre la pared y la escalera a nivel del piso y la distancia de la ventana son los catetos. Aplicando el teorema de Pitágoras:
R: la escalera debe medir 3, 35 m.
2) La profesora Hernández viajó 24 kilómetros al norte y luego 10 kilómetros al oeste ¿Cuánto se desplazó desde el punto inicial?
Como la profesora viajó en una trayectoria que describe un ángulo recto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa:
R: La profesora Hernández se desplazó 26 kilómetros desde el punto inicial.
3) Fabián camina hasta la escuela rodeando un campo rectangular cercado de 50 metros por 100 metros. Un día, Fabián consigue que ya no existe la cerca y decide atravesar el campo diagonalmente. ¿Cuánto se redujo la distancia recorrida?
La diagonal de un rectángulo es la hipotenusa de dos triángulos rectángulos como se presenta en la figura. Calculamos la hipotenusa, aplicando el teorema de Pitágoras:
Para calcular cuánto se redujo la distancia caminada por Fabián, restamos el valor de la diagonal del rectángulo a la suma de los dos lados del rectángulo:
R: Fabián redujo en 38,2 m el recorrido que hace a la escuela al atravesar el campo rectangular diagonalmente.
