Teorema de Pitágoras: ejercicios

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

teorema de Pitagoras

Ejercicios para aplicar el teorema de Pitágoras

1) Si a y b son los catetos y c es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, calcule el lado que falta:

b = 5 cm, c = 10 cm, a = ?

De la fórmula del teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2, despejamos el cateto a:

negrita a negrita igual raíz cuadrada de negrita c elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 2 fin raíz

Sustituimos los valores de b y c y calculamos a:

negrita a negrita igual raíz cuadrada de negrita 10 elevado a negrita 2 negrita menos negrita 5 elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 100 negrita menos negrita 25 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 75 negrita igual raíz cuadrada de negrita 5 elevado a negrita 2 negrita 3 fin raíz negrita igual negrita 5 raíz cuadrada de negrita 3

negrita R negrita dos puntos negrita espacio negrita a negrita igual negrita 5 raíz cuadrada de negrita 3 negrita espacio negrita cm negrita espacio negrita igual negrita 8 negrita coma negrita 66 negrita espacio negrita cm

2) Si a y b son los catetos y c es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, calcule el lado que falta:

a = 12 m, b = 20 m, c = ?

De la fórmula del teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2, despejamos la hipotenusa c:

estilo tamaño 16px negrita c negrita igual raíz cuadrada de negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita b elevado a negrita 2 fin raíz fin estilo

Sustituimos los valores de a y b y calculamos c:

estilo tamaño 16px negrita c negrita igual raíz cuadrada de negrita 12 elevado a negrita 2 negrita más negrita 20 elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 144 negrita más negrita 400 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 544 negrita igual raíz cuadrada de negrita 2 elevado a negrita 5 negrita. negrita 17 fin raíz negrita igual negrita 4 raíz cuadrada de negrita 34 fin estilo

negrita R negrita dos puntos negrita espacio negrita c negrita igual negrita 4 raíz cuadrada de negrita 34 negrita m negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita 23 negrita coma negrita 32 negrita espacio negrita m

3) Si a y b son los catetos y c es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, calcule el lado que falta:

a = 60 km, c = 100, b =?

estilo tamaño 16px negrita b negrita igual raíz cuadrada de negrita 100 elevado a negrita 2 negrita menos negrita 60 elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 10000 negrita menos negrita 3600 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 6400 negrita igual negrita 80 fin estilo

estilo tamaño 16px negrita R negrita dos puntos negrita espacio negrita b negrita igual negrita 80 negrita espacio negrita km fin estilo

4) Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que el valor del cateto es a = 5 m.

Sabemos que un triángulo isósceles es un triángulo con dos lados y dos ángulos iguales. Los dos catetos tienen la misma longitud. Entonces, para calcular la hipotenusa, simplemente aplicamos la fórmula:

estilo tamaño 16px negrita c negrita igual raíz cuadrada de negrita 2 negrita a elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 2 estilo negrita paréntesis izquierdo 5 paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual negrita 5 raíz cuadrada de negrita 2 fin estilo

estilo tamaño 16px negrita R negrita dos puntos negrita espacio negrita c negrita igual negrita 5 raíz cuadrada de negrita 2 negrita igual negrita 2 negrita coma negrita 23 negrita espacio negrita m fin estilo

5) Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que el valor del cateto a = 15 cm.

estilo tamaño 16px negrita c negrita igual raíz cuadrada de negrita 2 negrita a elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 2 negrita paréntesis izquierdo negrita 15 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual negrita 15 raíz cuadrada de negrita 2 fin estilo

estilo tamaño 16px negrita R negrita dos puntos negrita espacio negrita c negrita igual negrita 15 raíz cuadrada de negrita 2 negrita cm negrita espacio negrita igual negrita 21 negrita coma negrita 21 negrita espacio negrita cm fin estilo

6) Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que el valor del cateto a = 95 cm.

estilo tamaño 16px negrita c negrita igual raíz cuadrada de negrita 2 negrita a elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 2 estilo negrita paréntesis izquierdo 95 paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual negrita 95 raíz cuadrada de negrita 2 fin estilo

estilo tamaño 16px negrita R negrita dos puntos negrita espacio negrita c negrita igual negrita 95 raíz cuadrada de negrita 2 negrita cm negrita espacio negrita igual negrita 134 negrita coma negrita 35 negrita espacio negrita cm fin estilo

7) Hallar la altura (h) de un triángulo equilátero sabiendo que el lado = 12 cm.

Un triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales y tres ángulos agudos. Sin embargo, la altura corresponde a un cateto común de dos triángulos rectángulos internos, como se muestra en la figura:

triangulo rectangulo equilatero pitagoras

Sabiendo la longitud de un lado del triángulo, podemos calcular la altura. Esta es uno de los catetos mientras que el otro cateto es la mitad de la longitud de la hipotenusa. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:

estilo tamaño 16px paréntesis izquierdo negrita AB con negrita barra encima paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita h elevado a negrita 2 negrita más estilo negrita paréntesis izquierdo DB con barra encima paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 fin estilo

negrita h negrita igual raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita AB con negrita barra encima negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita DB con negrita barra encima negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 12 elevado a negrita 2 negrita menos negrita 6 elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 108 negrita igual negrita 6 raíz cuadrada de negrita 3

negrita R negrita dos puntos negrita espacio negrita h negrita igual negrita 6 raíz cuadrada de negrita 3 negrita espacio negrita cm negrita igual negrita 10 negrita coma negrita 39 negrita espacio negrita cm

8) Hallar la altura (h) de un triángulo equilátero sabiendo que el lado = 10 m.

Como en el caso anterior, aplicamos el teorema de Pitágoras, donde la hipotenusa ahora tiene un valor de 10 cm y uno de los catetos es 5 cm:

negrita h negrita igual raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita AB con negrita barra encima negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita DB con negrita barra encima negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 10 elevado a negrita 2 negrita menos negrita 5 elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 75 negrita igual negrita 5 raíz cuadrada de negrita 3

estilo tamaño 16px negrita R negrita dos puntos negrita espacio negrita h negrita igual negrita 5 raíz cuadrada de negrita 3 negrita espacio negrita m negrita igual negrita espacio negrita 8 negrita coma negrita 66 negrita espacio negrita m negrita. fin estilo

9) Hallar la altura (h) de un triángulo equilátero sabiendo que el lado = 25 m.

estilo tamaño 16px negrita h negrita igual raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita AB con negrita barra encima negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita DB con negrita barra encima negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 25 elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 12 negrita coma negrita 5 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 468 negrita coma negrita 75 fin raíz negrita igual negrita 21 negrita coma negrita 65 negrita espacio negrita m fin estilo

estilo tamaño 16px negrita R negrita dos puntos negrita espacio negrita h negrita igual negrita 21 negrita coma negrita 65 negrita espacio negrita m negrita. fin estilo

10) Hallar el área (A) de un triángulo equilátero sabiendo que la longitud de los lados = 10 m.

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base (b) por la altura (h):

estilo tamaño 16px negrita A negrita igual fracción numerador negrita b negrita. negrita h entre denominador negrita 2 fin fracción fin estilo

La medida de la base de un triángulo equilátero es igual a la medida de sus lados; la altura del triángulo equilátero se calcula a partir del teorema de Pitágoras:

negrita h negrita igual raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita lado negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo fracción negrita lado entre negrita 2 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de estilo negrita paréntesis izquierdo 10 paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual negrita 8 negrita coma negrita 66 negrita espacio negrita m

Teniendo la altura y la base, podemos calcular el área:

estilo tamaño 16px negrita A negrita igual fracción numerador negrita b negrita. negrita h entre denominador negrita 2 fin fracción negrita igual fracción numerador negrita paréntesis izquierdo negrita 10 negrita espacio negrita m negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 8 negrita coma negrita 66 negrita espacio negrita m negrita paréntesis derecho entre denominador negrita 2 fin fracción negrita igual negrita 43 negrita coma negrita 3 negrita espacio negrita m elevado a negrita 2 fin estilo

estilo tamaño 16px negrita R negrita dos puntos negrita espacio negrita A negrita igual negrita 43 negrita coma negrita 3 negrita espacio negrita m elevado a negrita 2 fin estilo

11) Hallar el área (A) de un triángulo rectángulo

teorema de Pitágoras ejercicio

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base (b) por la altura (h). En este caso, el cateto desconocido es la b y el cateto conocido es la h. Tenemos que calcular el cateto desconocido aplicando el teorema de Pitágoras:

estilo tamaño 16px negrita x negrita igual raíz cuadrada de estilo negrita paréntesis izquierdo 17 paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 negrita menos estilo negrita paréntesis izquierdo 15 paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 289 negrita menos negrita 225 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 64 negrita igual negrita 8 negrita espacio negrita cm fin estilo

El área de este triángulo es:

estilo tamaño 16px negrita A negrita igual fracción numerador negrita b negrita. negrita h entre denominador negrita 2 fin fracción negrita igual fracción numerador estilo negrita paréntesis izquierdo 15 espacio cm paréntesis derecho fin estilo estilo negrita paréntesis izquierdo 8 espacio cm paréntesis derecho fin estilo entre denominador negrita 2 fin fracción negrita igual negrita 60 negrita espacio negrita cm elevado a negrita 2 fin estilo

estilo tamaño 16px negrita R negrita dos puntos negrita espacio negrita A negrita igual negrita 60 negrita espacio negrita cm elevado a negrita 2 fin estilo

Problemas sobre el teorema de Pitágoras

1) ¿Cuál debe ser la longitud de una escalera para llegar a una ventana a 3 metros del piso y que la escalera esté separada de la pared por 1,5 metros?

Entre el piso y la pared existe un ángulo recto, por lo que la longitud de la escalera será la hipotenusa. La separación entre la pared y la escalera a nivel del piso y la distancia de la ventana son los catetos. Aplicando el teorema de Pitágoras:

estilo tamaño 16px negrita L subíndice negrita escalera negrita igual raíz cuadrada de estilo negrita paréntesis izquierdo altura subíndice ventana paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 negrita más estilo negrita paréntesis izquierdo distancia subíndice escalera menos pared fin subíndice paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 fin raíz fin estilo

estilo tamaño 16px negrita L subíndice negrita escalera negrita igual raíz cuadrada de estilo negrita paréntesis izquierdo 3 paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 negrita más estilo negrita paréntesis izquierdo 1 coma 5 paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 11 negrita coma negrita 25 fin raíz negrita igual negrita 3 negrita coma negrita 35 negrita espacio negrita m fin estilo

R: la escalera debe medir 3, 35 m.

2) La profesora Hernández viajó 24 kilómetros al norte y luego 10 kilómetros al oeste ¿Cuánto se desplazó desde el punto inicial?

Como la profesora viajó en una trayectoria que describe un ángulo recto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa:

estilo tamaño 16px negrita h negrita igual raíz cuadrada de estilo negrita paréntesis izquierdo 24 paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 negrita más estilo negrita paréntesis izquierdo 10 paréntesis derecho fin estilo elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 676 negrita igual negrita 26 fin estilo

R: La profesora Hernández se desplazó 26 kilómetros desde el punto inicial.

3) Fabián camina hasta la escuela rodeando un campo rectangular cercado de 50 metros por 100 metros. Un día, Fabián consigue que ya no existe la cerca y decide atravesar el campo diagonalmente. ¿Cuánto se redujo la distancia recorrida?

teorema de pitagoras ejercicios

La diagonal de un rectángulo es la hipotenusa de dos triángulos rectángulos como se presenta en la figura. Calculamos la hipotenusa, aplicando el teorema de Pitágoras:

estilo tamaño 16px negrita h negrita igual raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita 50 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita 100 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 12500 negrita igual negrita 111 negrita coma negrita 8 negrita espacio fin estilo

Para calcular cuánto se redujo la distancia caminada por Fabián, restamos el valor de la diagonal del rectángulo a la suma de los dos lados del rectángulo:

negrita paréntesis izquierdo negrita 100 negrita espacio negrita m negrita espacio negrita más negrita espacio negrita 50 negrita espacio negrita m negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita menos negrita espacio negrita 111 negrita coma negrita 8 negrita espacio negrita m negrita igual negrita 38 negrita coma negrita 2 negrita espacio negrita m

R: Fabián redujo en 38,2 m el recorrido que hace a la escuela al atravesar el campo rectangular diagonalmente.