Máximo común divisor

El máximo común divisor de dos o más números es el número más grande que los divide a todos. Se abrevia como MCD.

Recordemos que un divisor es aquel número que cuando divide a otro, el resto de la división es igual a cero.

Por ejemplo, el número 12 es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12:

negrita 12 negrita dividido por negrita 1 negrita igual negrita 12 negrita 12 negrita dividido por negrita 2 negrita igual negrita 6 negrita 12 negrita dividido por negrita 3 negrita igual negrita 4 negrita 12 negrita dividido por negrita 4 negrita igual negrita 3 negrita 12 negrita dividido por negrita 6 negrita igual negrita 2 negrita 12 negrita dividido por negrita 12 negrita igual negrita 1

Si dividimos el 12 entre estos números tendremos un resultado exacto sin que haya resto en la división.

Todos los números naturales poseen al menos dos divisores: el 1 y el mismo. El menor divisor será siempre el número 1, y el mayor divisor es el propio número.

Cuando un número tiene apenas dos divisores, es decir, solamente es divisible por 1 y por sí mismo, tenemos un número primo.

Por ejemplo, el 3 solo es divisible por 1 y por 3, es un número primo. En cambio, el 4 es divisible por 1, por 2 y por 4, por lo que ya no es un número primo.

Atención: el cero (0) no es divisor de ningún número.

¿Cómo se saca el máximo común divisor?

Método 1: por divisiones sucesivas se buscan los divisores de cada número

Podemos buscar el MCD de dos números buscando sus divisores y detectando cuál es el divisor común mayor. Por ejemplo, el MCD de 20 y 24 es:

estilo tamaño 16px negrita 20 negrita dividido por negrita 1 negrita igual negrita 20 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 24 negrita dividido por negrita 1 negrita igual negrita 24 negrita 20 negrita dividido por negrita 2 negrita igual negrita 10 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 24 negrita dividido por negrita 2 negrita igual negrita 12 negrita 20 negrita dividido por negrita 4 negrita igual negrita 5 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 24 negrita dividido por negrita 3 negrita igual negrita 8 negrita 20 negrita dividido por negrita 5 negrita igual negrita 4 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 24 negrita dividido por negrita 4 negrita igual negrita 6 negrita 20 negrita dividido por negrita 10 negrita igual negrita 2 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 24 negrita dividido por negrita 6 negrita igual negrita 4 negrita 20 negrita dividido por negrita 20 negrita igual negrita 1 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 24 negrita dividido por negrita 8 negrita igual negrita 3 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 24 negrita dividido por negrita 12 negrita igual negrita 2 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 24 negrita dividido por negrita 24 negrita igual negrita 1 negrita espacio fin estilo

Se detecta el mayor número común entre ellos. En este caso es el 4. Asi, el MCD de 20 y 24 es 4.

Este método se complica cuando los números se van haciendo más grandes. Por eso, hay una forma más fácil de buscar el MCD.

Método 2 por descomposición en factores primos

Para calcular el MCD entre dos o más números, debemos realizar la descomposición de los números en sus factores primos a través de la factorización. La factorización es buscar cuáles números primos al multiplicarse dan como resultado un dado número.

Por ejemplo, vamos a descomponer en sus factores primos los números 20 y 24. Para eso trazamos una línea vertical, del lado izquierdo colocamos el número a dividir y del lado derecho colocamos el número primo divisor. De esta forma, del lado derecho está el 20 que es divisible por 2 (que está a la derecha). El resultado se escribe debajo del 20, en este caso, el 10. Esta operación la hacemos sucesivamente hasta llegar al 1, como se muestra abajo:

descomposicion en factores primos de 20 y 24 para calcular el MCD

De esta forma, tenemos del lado derecho todos los números primos que dividen a un dado número. Cuando comparamos los factores primos entre 20 y 24, nos damos cuenta que los factores comunes entre el 20 y el 24 son 2x2=4. Es decir, el MCD de 20 y 24 es 4.

Vea también Factorización.

Ejemplos de máximo común divisor

1. El máximo común divisor de 18 y 24:

maximo comun divisor de 18 y 24

Los factores comunes entre 18 y 24 son 2 x 3 = 6. Entonces, el MCD de 18 y 24 es 6, que es el mayor número que divide tanto al 18 como al 24.

2. El MCD de 6, 12 y 15:

maximo comun divisor de 6 12 y 15

El MCD entre 6, 12 y 15 es 3, ya que ningún otra combinación de números primos es compartida entre los tres números.

3. El MCD de 35, 54 y 80:

maximo comun divisor 35, 55 y 80

El divisor común entre 35, 55 y 80 es 5, entonces el MCD (35,55, 80) es 5.

Propiedades del máximo común divisor

  • Cuando factorizamos dos o más números, el MCD es el producto de los factores comunes a ellos. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6.
  • Cuando tenemos dos números consecutivos entre sí, podemos concluir que el MDC de ellos es 1. Por ejemplo, 25 y 26:

negrita 25 negrita dividido por negrita 1 negrita igual negrita 25 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 26 negrita dividido por negrita 1 negrita igual negrita 26 negrita 25 negrita dividido por negrita 5 negrita igual negrita 5 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 26 negrita dividido por negrita 2 negrita igual negrita 13 negrita 25 negrita dividido por negrita 25 negrita igual negrita 1 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 26 negrita dividido por negrita 13 negrita igual negrita 2 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 26 negrita dividido por negrita 26 negrita igual negrita 1 negrita espacio negrita espacio

El único divisor común es el 1.

  • Cuando tenemos dos o más números y uno de ellos es divisor del otro, podemos concluir que este es el MDC de los números, por ejemplo 3 y 6.

Vea también Números primos.

Ejercicios de máximo común divisor

1. Un granjero sacó de un gallinero 36 huevos blancos y de otro 48 huevos rojos y quiere repartirlos de forma igualitaria sin tener que mezclarlos. ¿En cuántos grupos de igual número de huevos puede repartirlos?

Para esto tenemos que calcular el MCD de 36 y 48 por factores comunes:

maximo comun divisor 36 y 48

Sabemos que el MCD(36,48) es 12, quiere decir que el granjero puede dividir de forma igual los 36 y 48 huevos. Asi, 36 huevos entre 12 es igual a 3 y 48 huevos entre 12 es igual a 4. El granjero tendrá entonces 7 grupos de huevos, 3 blancos y 4 rojos.

Respuesta: el granjero puede repartir los huevos en 7 grupos de 12.

2. En un colegio de CDMX hay 120 estudiantes en primaria, 144 en secundaria y 60 en media superior. En la semana cultural todos los estudiantes se organizan en equipos de igual número de elementos ¿Cuál es el número máximo de estudiantes por equipo?

Solución: se calcula el MCD de los tres números: 176, 144 y 80.

Los factores primos de 176, 144 y 80 son:

estilo tamaño 16px negrita 176 negrita igual negrita espacio negrita 2 elevado a negrita 4 negrita multiplicación en cruz negrita 11 negrita espacio negrita espacio negrita punto y coma negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 144 negrita igual negrita 2 elevado a negrita 4 negrita multiplicación en cruz negrita 3 elevado a negrita 2 negrita espacio negrita espacio negrita punto y coma negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 80 negrita igual negrita espacio negrita 2 elevado a negrita 4 negrita multiplicación en cruz negrita 5  fin estilo

Los factores comunes a los tres números son 24 que es igual a 16. El MCD es 16.

Respuesta: el número máximo de estudiantes por equipo es 16.