Números enteros

Los números enteros son el conjunto de los números positivos y negativos, incluyendo el cero. Se representa con la letra mayúscula Ζ:

estilo tamaño 16px negrita números enteros negrita igual estilo negrita llave izquierda... menos 4. espacio menos 3 coma espacio menos 2 coma espacio menos 1 coma espacio 0 coma espacio 1 coma espacio 2 coma espacio 3 coma espacio 4 coma... llave derecha fin estilo fin estilo

Los números enteros pertenecen a los números reales e incluyen el conjunto de los números naturales, que son los números enteros positivos. Los números negativos surgieron como una necesidad para el desarrollo del álgebra.

Características de los números enteros

  • Los números enteros pueden ser positivos o negativos, por ejemplo, -56, +56.
  • No son números fraccionarios, es decir, 1/2, 1/3, 5/6 no son números enteros.
  • No son números irracionales, como el número π, √2.
  • Tienen un orden, los números positivos son mayores que 0 (el menor número positivo es el 1), los números negativos son menores que cero 0 (el mayor número negativo es el -1).
  • Son infinitos.

Propiedades de los números enteros

Conmutativa

Para todos los números enteros a y b, tenemos:

estilo tamaño 16px negrita a negrita más negrita b negrita igual negrita b negrita más negrita a negrita espacio negrita a negrita multiplicación en cruz negrita b negrita igual negrita b negrita multiplicación en cruz negrita a fin estilo

Ejemplo

estilo tamaño 16px negrita 5 negrita más negrita 2 negrita igual negrita 2 negrita más negrita 5 negrita 10 negrita menos negrita 3 negrita igual negrita menos negrita 3 negrita más negrita 10 fin estilo

negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita igual negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita 5 negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita igual negrita 3 negrita multiplicación en cruz negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho

Asociativa

Para todos los enteros a, b y c, tenemos:

estilo tamaño 16px negrita a negrita más estilo negrita paréntesis izquierdo b más c paréntesis derecho fin estilo negrita igual estilo negrita paréntesis izquierdo a más b paréntesis derecho fin estilo negrita más negrita c negrita a negrita multiplicación en cruz estilo negrita paréntesis izquierdo b multiplicación en cruz c paréntesis derecho fin estilo negrita igual estilo negrita paréntesis izquierdo a multiplicación en cruz b paréntesis derecho fin estilo negrita multiplicación en cruz negrita c fin estilo

Ejemplo

estilo tamaño 16px negrita 2 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita igual estilo negrita paréntesis izquierdo 2 más 3 paréntesis derecho fin estilo negrita menos negrita 5 negrita 2 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita igual estilo negrita paréntesis izquierdo 5 paréntesis derecho fin estilo negrita menos negrita 5 fin estilo

Distributiva

Para todos los enteros a, b y c, tenemos:

estilo tamaño 16px estilo negrita paréntesis izquierdo a más b paréntesis derecho fin estilo negrita por negrita c negrita igual negrita a negrita por negrita c negrita más negrita b negrita por negrita c fin estilo

Ejemplo

estilo tamaño 16px estilo negrita paréntesis izquierdo 5 más 4 paréntesis derecho fin estilo negrita por negrita 3 negrita igual negrita 5 negrita por negrita 3 negrita más negrita 4 negrita por negrita 3 estilo negrita paréntesis izquierdo 9 paréntesis derecho fin estilo negrita por negrita 3 negrita igual negrita 15 negrita más negrita 12 negrita 27 negrita igual negrita 27 fin estilo

Identidad

Existen los números enteros 0 y 1, tal que para los números enteros a tenemos:

estilo tamaño 16px negrita a negrita más negrita 0 negrita igual negrita a negrita a negrita multiplicación en cruz negrita 1 negrita igual negrita a fin estilo

Ejemplos

estilo tamaño 16px negrita menos negrita 10 negrita más negrita 0 negrita igual negrita menos negrita 10 negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 10 negrita paréntesis derecho negrita multiplicación en cruz negrita 1 negrita igual negrita menos negrita 10 fin estilo

Adición inversa

Para cualquier número entero a, existe un número entero negativo -a tal que:

estilo tamaño 16px negrita a negrita más estilo negrita paréntesis izquierdo menos a paréntesis derecho fin estilo negrita igual negrita 0 fin estilo

Ejemplo

estilo tamaño 16px negrita 4 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 4 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 0 fin estilo

Enteros positivos

Para cualquier número entero positivo a y b, el resultado de adición o multiplicación también es positivo.

Ejemplo

estilo tamaño 16px negrita 5 negrita más negrita 4 negrita igual negrita 9 negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 4 negrita igual negrita 20 fin estilo

¿Para qué sirven los números enteros?

En el conjunto de los números enteros es posible realizar las sustracciones o restas, lo cual no era posible en el conjunto de los números naturales. Esto es, en los números naturales sólo se puede restar un número menor a uno mayor:

estilo tamaño 16px negrita 10 negrita menos negrita 9 negrita igual negrita 1 negrita 9 negrita menos negrita 10 negrita igual negrita ? fin estilo

En el conjunto Z, las restas pueden realizarse independiente del orden de los números:

estilo tamaño 16px negrita 9 negrita menos negrita 10 negrita igual negrita menos negrita 1 negrita menos negrita 10 negrita más negrita 9 negrita igual negrita menos negrita 1 fin estilo

Operaciones matemáticas con números enteros

Valor absoluto

El valor absoluto se designa:

estilo tamaño 16px estilo negrita barra vertical n barra vertical fin estilo igual negrita n negrita coma negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita si negrita espacio negrita n negrita mayor que negrita 0 negrita punto y coma negrita espacio estilo negrita barra vertical 3 barra vertical fin estilo negrita igual negrita 3 estilo negrita barra vertical n barra vertical fin estilo negrita igual negrita 0 negrita coma negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita si negrita espacio negrita n negrita igual negrita 0 negrita punto y coma negrita espacio estilo negrita barra vertical 0 barra vertical fin estilo negrita igual negrita 0 estilo negrita barra vertical n barra vertical fin estilo negrita igual negrita menos negrita n negrita coma negrita espacio negrita si negrita espacio negrita n negrita menor que negrita 0 negrita punto y coma negrita espacio estilo negrita barra vertical menos 3 barra vertical fin estilo negrita igual negrita menos estilo negrita paréntesis izquierdo menos 3 paréntesis derecho fin estilo negrita igual negrita 3 fin estilo

Adición de números enteros

Dos números enteros n y p se suman (s) según la siguiente regla:

estilo tamaño 16px negrita Si negrita espacio negrita n negrita mayor que negrita 0 negrita espacio negrita y negrita espacio negrita p negrita mayor que negrita 0 negrita coma negrita espacio negrita entonces negrita espacio negrita s negrita igual negrita n negrita más negrita p negrita punto y coma negrita espacio negrita 3 negrita más negrita 5 negrita igual negrita 8 negrita Si negrita espacio negrita n negrita menor que negrita 0 negrita espacio negrita y negrita espacio negrita p negrita menor que negrita 0 negrita coma negrita espacio negrita entonces negrita espacio negrita s negrita igual negrita menos estilo negrita paréntesis izquierdo abrir barra vertical n cerrar barra vertical más abrir barra vertical p cerrar barra vertical paréntesis derecho fin estilo negrita punto y coma negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita más negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita menos negrita 8 negrita Si negrita espacio negrita n negrita mayor que negrita 0 negrita espacio negrita y negrita espacio negrita p negrita menor que negrita 0 negrita espacio negrita y negrita espacio estilo negrita barra vertical n barra vertical fin estilo negrita mayor que estilo negrita barra vertical p barra vertical fin estilo negrita coma negrita espacio negrita entonces negrita espacio negrita s negrita igual estilo negrita barra vertical n barra vertical fin estilo negrita menos estilo negrita barra vertical p barra vertical fin estilo negrita punto y coma negrita espacio negrita 5 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 5 negrita menos negrita 3 negrita igual negrita 2 negrita Si negrita espacio negrita n negrita mayor que negrita 0 negrita espacio negrita y negrita espacio negrita p negrita menor que negrita 0 negrita espacio negrita y negrita espacio estilo negrita barra vertical n barra vertical fin estilo negrita menor que estilo negrita barra vertical p barra vertical fin estilo negrita coma negrita espacio negrita entonces negrita espacio negrita s negrita igual negrita menos negrita paréntesis izquierdo estilo negrita barra vertical p barra vertical fin estilo negrita menos estilo negrita barra vertical n barra vertical fin estilo negrita paréntesis derecho negrita punto y coma negrita 5 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 8 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 8 negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita menos negrita 3 fin estilo

Multiplicación de números enteros

Dos números enteros se multiplican (m) según la siguiente regla:

estilo tamaño 16px negrita Si negrita espacio negrita n negrita mayor que negrita 0 negrita espacio negrita y negrita espacio negrita p negrita mayor que negrita 0 negrita coma negrita espacio negrita entonces negrita espacio negrita m negrita igual negrita n negrita por negrita p negrita punto y coma negrita 5 negrita por negrita 3 negrita igual negrita 15 negrita Si negrita espacio negrita n negrita menor que negrita 0 negrita espacio negrita y negrita espacio negrita p negrita menor que negrita 0 negrita coma negrita espacio negrita entonces negrita espacio negrita m negrita igual estilo negrita barra vertical n barra vertical fin estilo negrita por estilo negrita barra vertical p barra vertical fin estilo negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 5 negrita por negrita 3 negrita igual negrita 15 negrita Si negrita espacio negrita n negrita menor que negrita 0 negrita espacio negrita y negrita espacio negrita p negrita mayor que negrita 0 negrita espacio negrita o negrita espacio negrita si negrita espacio negrita n negrita mayor que negrita 0 negrita espacio negrita y negrita espacio negrita p negrita menor que negrita 0 negrita coma negrita espacio negrita entonces negrita espacio negrita m negrita igual negrita menos negrita paréntesis izquierdo estilo negrita barra vertical n barra vertical fin estilo negrita por estilo negrita barra vertical p barra vertical fin estilo negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita por negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita menos negrita 15 fin estilo

División de números enteros

La división es la operación inversa de la multiplicación, donde m=n.p, entonces la división es p=m÷n:

estilo tamaño 16px negrita 5 negrita multiplicación en cruz negrita 3 negrita igual negrita 15 negrita flecha doble derecha negrita espacio negrita 15 negrita dividido por negrita 3 negrita igual negrita 5 fin estilo

La división entre 0 está prohibida.

Ejercicios con números enteros

1. Realiza las siguientes operaciones con números enteros:

negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 234 negrita más negrita 432 negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 234 negrita menos negrita 432 negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 35 negrita multiplicación en cruz negrita 12 negrita 4 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita 35 negrita multiplicación en cruz negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 12 negrita paréntesis derecho negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 15 negrita paréntesis derecho negrita multiplicación en cruz negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 6 negrita paréntesis derecho negrita 6 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 35 negrita paréntesis derecho negrita dividido por negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita 7 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 24 negrita paréntesis derecho negrita dividido por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 12 negrita paréntesis derecho negrita 8 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 24 negrita menos negrita 12 negrita paréntesis derecho negrita multiplicación en cruz negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita 9 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita 535 negrita más negrita 225 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 789

Respuesta: 1) 666; 2) -198; 3) 420; 4)-420; 5) 90; 6) -7; 7) 2; 8)72; 9) -29.

2. Una persona ganó $792 en enero y $720 en febrero. Gastó en el supermercado $555 en enero y $957 en febrero. ¿Cuál es el saldo final?

La persona ganó entre enero y febrero la suma de 792+720= 1512. Gastó entre enero y febrero -555+(-957)=-1512. El saldo final es 1512-1512=0.