Los números naturales son el conjunto de números con los que se puede contar la cantidad de elementos en un conjunto.
Pensemos en el conjunto de letras {a,c,e}, este conjunto tiene 3 elementos y el 3 es un número natural. Por el contrario, el 3.5 no es un número natural porque no podemos tener un conjunto de 3 letras y media, tampoco lo es el -4, por la misma razón.
Usualmente, los números naturales son los primeros números que aprendemos.
Este conjunto se denota con la letra ℕ, así tenemos que el conjunto ℕ está formado por los elementos:
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
Las llaves {} indican que son un conjunto, y los tres puntos al final que continúan sin fin.
En un principio no se consideró que el 0 fuera un número natural, sin embargo, actualmente hay fuentes que lo reconocen como número natural y ambas concepciones son aceptadas [1]. Entonces también es correcto:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
Características
Todo número natural tiene un sucesor natural. Por ejemplo, si consideras el número natural 7, su sucesor es 8 y para el 11 es el 12. Un sucesor se obtiene sumando 1 al número original.
Decimos que en el conjunto de los naturales podemos hacer dos operaciones, que conocemos con el nombre de suma y producto (o multiplicación). Estas operaciones tienen las siguientes propiedades:
1. Son cerradas: esto quiere decir que si tomamos dos números naturales cualquiera que llamaremos a y b, y los sumamos o los multiplicamos, los resultados a + b o ab son también números naturales.
Ejemplo:
Si tomamos a = 4 y b = 2, entonces a + b = 4 + 2 = 6, y 6 es número natural.
2. Son conmutativas: esto implica que a + b = b + a, y que ab = ba.
Ejemplo:
Si tomamos a = 4 y b = 2, entonces ab = 4*2 = 8, y 8 es número natural.
3. Son asociativas: lo que significa que si tenemos tres números naturales a, b y c, entonces (a + b) + c = a + (b + c), y también (ab)c = a(bc).
Ejemplo:
Si a = 2, b = 3 y c = 5, entonces (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 y también 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10.
Lo mismo para (2*3)5 = (6)5 = 30 y 2(3*5) = 2(15) = 30.
4. Son distributivas: Entonces a (b + c) = ab + ac.
Ejemplo:
Si a = 2, b = 3 y c = 5, entonces 2 (3 + 5) = 2(3) + 2(5) = 6 + 10 = 16.
5. Tienen neutro: esto se interpreta como que existe un número tal que al sumarlo con cualquier otro, el resultado es el otro, éste número es el 0. Así tenemos que a + 0 = a para cualquier número a.
Para el caso del producto, el neutro es 1, porque 1a = a.
Ejemplo:
Si a = 7 entonces 7 + 0 = 7 y tambien 1*7 = 7
Vea también:
Bibliografía:
[1] Lane, S.M. y Birkhoff, G. (1999), Algebra. Vol. 330 American Mathematical Soc., Chelsea Publishing Company, p. 15
