¿Cuál es la posibilidad de ver una estrella fugaz? ¿Cuál es la posibilidad de que llueva mañana? ¿Ganaré la lotería algún día? Cuando queremos saber si un evento o suceso es posible o no, recurrimos a la probabilidad. Así, la probabilidad es el valor numérico que nos sirve para determinar la ocurrencia o no de una situación dada.
Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda al aire, existe una probabilidad de 0,50 que obtendremos águila o sol (cara o cruz en algunos países). En una pregunta de verdadero o falso, tenemos una oportunidad de 50-50 de contestar correctamente si escogemos la respuesta al azar, esto es, la probabilidad es de 0,50.
También cuando decimos que en una caja de fósforos existe un 1% de que un fósforo no se encienda, lo expresamos como una probabilidad de 0,01. Esto es que en 100 veces que frotamos un fósforo, al menos uno no se encenderá.
Probabilidad y estadística
La probabilidad y la estadística van de la mano. De hecho, la probabilidad representa las bases para la construcción de la estadística inferencial.
La estadística inferencial es una parte de la estadística que, valiéndose de métodos probabilísticos, predice los resultados de una población, basándose en los datos de una muestra de esa población.
Un ejemplo interesante es el estudio realizado por Subagia y colaboradores, donde examinaron las configuraciones de los helicópteros y la probabilidad de accidentes. Estos investigadores identificaron que los helicópteros con cuatro aspas tienen la probabilidad más baja de accidentes.
Conceptos básicos de probabilidad
Para poder comprender qué probabilidad hay de que acontezca algo, existen algunas notaciones y conceptos claves en el estudio de la probabilidad:
- La probabilidad se denota con la letra P.
- Un suceso es cualquier conjunto de resultados o consecuencias de un procedimiento. Por ejemplo, lanzar dos dados y obtener 6 y 6.
- Un suceso simple es un resultado o un suceso que ya no puede desglosarse en componentes más simples. Por ejemplo, que salga el número 6 cuando lanzamos un dado.
- El espacio muestral de un procedimiento son todos los posibles resultados. Es decir, el espacio muestral está formado por todos los resultados que ya no puede desglosarse más. Por ejemplo todos los posibles resultados de lanzar dos dados:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1, 1 | 1, 2 | 1, 3 | 1, 4 | 1, 5 | 1, 6 |
| 2 | 2, 1 | 2, 2 | 2, 3 | 2, 4 | 2, 5 | 2, 6 |
| 3 | 3, 1 | 3, 2 | 3, 3 | 3, 4 | 3, 5 | 3, 6 |
| 4 | 4, 1 | 4, 2 | 4, 3 | 4, 4 | 4, 5 | 4, 6 |
| 5 | 5, 1 | 5, 2 | 5, 3 | 5, 4 | 5, 5 | 5, 6 |
| 6 | 6, 1 | 6, 2 | 6, 3 | 6, 4 | 6, 5 | 6, 6 |
- Los sucesos específicos se denotan por A, B o C. P(A) denota la probabilidad de que ocurra el suceso A.
- La probabilidad de un suceso imposible es 0. Por ejemplo, conseguir agua en el Sol tiene una probabilidad de 0.
- La probabilidad de un suceso seguro es 1. Por ejemplo, que la Tierra gire alrededor del Sol es eguro.
- La probabilidad de que un suceso no ocurra se conoce como el complemento de la ocurrencia del suceso. Por ejemplo, si la probabilidad de ganar la lotería es 0,000001, el complemento es la probabilidad de NO ganar la lotería, esto es, 0,999999.
Reglas de probabilidad: ¿Cómo se calcula la probabilidad?
Existen tres métodos o reglas diferentes para calcular valores de probabilidad, según los eventos y procedimientos involucrados.
Regla 1: aproximación de la probabilidad por frecuencias relativas
Queremos saber la probabilidad de que un equipo de fútbol gane un partido. Para esto tenemos que contar todos los partidos jugados y cuántos fueron ganados durante un cierto período de tiempo. Con estos resultados calculamos la probabilidad como:
Un partido de fútbol sería un procedimiento, en el cual los sucesos simples son ganar, perder o empatar. Sin embargo, no podemos decir que la probabilidad de que el equipo X gane es 1/3, si no que mientras más partidos realice el equipo X y gane, la probabilidad será más certera.
En resumen, se realiza (u observa) un procedimiento un gran numero de veces y se cuenta las veces que el suceso A ocurre en realidad. Con base en estos resultados reales, P(A) se estima de la siguiente forma:
Al calcular probabilidades con el método de frecuencias relativas obtenemos una aproximación en vez de un valor exacto. Conforme el número total de observaciones se incrementa, los estimados correspondientes tienden a acercarse a la probabilidad real. Esta propiedad se enuncia en forma de teorema, que se conoce comúnmente como la ley de los números grandes.
Ejemplo de regla 1
Si buscamos las estadísticas del Barcelona FC, conseguimos que ha jugado 2865 partidos, de las cuales ha ganado 1653, perdido 630 y empatado 582. Con estos datos calculamos la probabilidad de que el Barcelona gane un partido:
Las estadísticas del Real Madrid son parecidas: 2865 partidos jugados, 1706 ganados, 584 perdidos y 575 empatados. Entonces, la probabilidad de que el Real Madrid gane es:
Regla 2: método clásico de la probabilidad
Este es el método clásico que asociamos con lanzar dados o una moneda. Cuando lanzamos al aire una moneda, tenemos la misma probabilidad en un suceso simple de obtener una cara o cruz (águila o sol en México).
Suponga que un procedimiento dado tiene n sucesos simples distintos y que cada uno de esos sucesos simples tiene la misma posibilidad de ocurrir. Si el suceso A puede ocurrir en s de estas n formas, entonces:
Ejemplo de regla 2
La probabilidad de que salga el número cinco al lanzar un dado es:
Así, la probabilidad de que salga cualquiera de las caras de un dado es igual a 1/6.
Regla 3: probabilidad subjetiva
La forma de calcular la probabilidad de sucesos como si lloverá mañana, llegar a la cima del Monte Everest, o ser alcanzado por un rayo, se estima con base en el conocimiento de las circunstancias relevantes.
Ejemplo de regla 3
La probabilidad de tumores cerebrales por el uso de teléfonos celulares se ha estudiado en varios países. En Australia se analizó la incidencia de tumores cerebrales en 16 825 casos de cáncer de cerebro en personas entre 20 y 59 años, entre 1982 y 2002 (10 063 casos) y entre el 2003 y el 2013 (cuando empezó a usarse el teléfono celular: 6 762 casos).
Según los datos recolectados por estos investigadores, la incidencia de tumores cerebrales durante todo el periodo estudiado no ha cambiado, por lo que la probabilidad de que el uso del celular produzca cáncer es mínima.
¿Para qué sirve la probabilidad?
Usamos el cálculo de probabilidades en muchas áreas de nuestra vida:
- En la predicción del clima.
- Cuando se realiza un tratamiento médico o una cirugía.
- Las compañías de seguro.
- En los casinos y juegos de azar.
Conocer las probabilidades de un determinado evento nos permite prepararnos a los resultados o confiarnos del éxito esperado.
Breve historia de la probabilidad
El precursor de las teorías probabilísticas fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576).
Los matemáticos Pierre Fermat (1601-1665) y Blaise Pascal (1623-1662) contribuyeron a desarrollar el concepto de probabilidad a problemas relacionados con los juegos de azar.
El cálculo combinatorial fue desarrollado por Jacob Bernoulli (1654-1705) y Pierre Simon de Laplace (1749-1827).
Ejercicios de probabilidad resueltos
1. ¿Cuál es la probabilidad de que una pareja en tres nacimientos tenga tres niñas?
En este caso usamos la regla 2. El espacio muestral de tres nacimientos es el siguiente:
| Opción | 1er lugar | 2do lugar | 3er lugar |
| 1 | niña | niña | niña |
| 2 | niña | niña | niño |
| 3 | niña | niño | niña |
| 4 | niño | niña | niña |
| 5 | niña | niño | niño |
| 6 | niño | niña | niño |
| 7 | niño | niño | niña |
| 8 | niño | niño | niño |
Vemos que solo hay una opción de tener tres niñas, por lo que la probabilidad será:
Respuesta: La probabilidad de tener tres niñas en tres nacimientos es de 1/8, o 0,125.
2. ¿Qué probabilidad hay de que el Real Madrid le gane al Barcelona FC?
El Real Madrid y el Barcelona han jugado 236 partidos. 94 partidos fueron ganados por el Barcelona, 91 fueron ganados por el Real Madrid y 51 fueron empatados. Si queremos saber cual es la probabilidad de que el Real Madrid le gane al Barcelona, el cálculo es el siguiente:
Respuesta: la probabilidad de que el Real Madrid le gane al Barcelona es 0,386.
3. De una baraja de 52 cartas ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta de diamantes?
En la baraja de cartas existen 13 cartas de diamantes; la probabilidad de sacar un diamente es:
Respuesta: la probabilidad de sacar una carta de diamante de un mazo de 52 cartas es de 0,25.
Referencias
Karipidis, K., y col. (2018) Mobile phone use and incidence of brain tumour histological types, grading or anatomical location: a population-based ecological study. BMJ Open 8: e024489. DOI: 10.1136/bmjopen-2018-024489.
Subagia, R., Saleh, J.H., Churchwell, J.S., Zhang, K.S. (2020) Statistical learning for turboshaft helicopter accidents using logistic regression. Plos One 15: e022734. DOI: 10.1371/journal.pone.0227334.
Triola M.F. (2009) Estadística 10ma ed. Pearson Educación. México.
BDFutbol- Barcelona. Recuperado el 01-06-2020 de https://www.bdfutbol.com/en/e/e2.html?p=stats